4. Позиционные задачи

4.1. Принадлежность прямой плоскости

Прямая принадлежит плоскости если она проходит через две точки, лежащих в этой плоскости.

Дано: задана плоскость α(∆АВС) и одна из проекций прямой l₁ которая принадлежит этой плоскости (рис. 41).

Определить недостающею проекцию прямой l₂ при условии, что прямая l  α(∆АВС).

Рис. 41

Алгоритм решения.

1. Выбираются проекции двух точек одновременно принадлежащие заданным плоскости и прямой (А₁В₁∩l₁=1₁ и А₁С₁∩l₁=2₁).

2. По принадлежности точки 1АВ и 2АС определяются недостающие проекции точек 1₂ и 2₂.

3. Через полученные проекции точек 1₂ и 2₂ достраивается недостающая проекция прямой l₂ принадлежащей плоскости α.

4.2. Принадлежность точки плоскости

Точка принадлежит плоскости если она принадлежит прямой лежащей в этой плоскости.

Дано: задана плоскость α(∆АВС) и одна из проекций точки К, которая принадлежит этой плоскости (рис. 42).

Определить недостающею проекцию точки К.

Рис. 42

Алгоритм решения.

1. Через известную проекцию точки К₁ проводим проекцию прямой l₁ в предположение, что эта прямая принадлежит заданной плоскости (l  α).

2. По вышеуказанному алгоритму определяется недостающая проекция прямой l₂.

3. По принадлежности точки К прямо l достраивается искомая проекция точки К₂.

4.4. Главные прямые плоскости

Основными главными линиями плоскости являются: горизонтали плоскости; фронтали плоскости; линии наибольшего ската; линии наибольшего наклона.

Горизонталь плоскости. Горизонталь плоскости – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна горизонтальной плоскости проекций. На рис. 43 показана горизонталь h плоскости α.

Алгоритм построения горизонтали (рис. 44).

1. Горизонталь плоскости как прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, имеет фронтальную проекцию h₂, параллельную оси 0Х. Поэтому вначале на фронтальной проекции заданной плоскости строится характерный признак горизонтали. На рис. 44 h₂(С₂1₂)∥0X.

2. По принадлежности прямой плоскости (алгоритм принадлежности прямой плоскости) достраивается недостающая проекция горизонтали плоскости h₁.

Рис. 43 Рис. 44

Следует отметить, что все горизонтали плоскости параллельны между собой и параллельны горизонтальному следу плоскости.

Фронталь плоскости. Фронталь плоскости – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна фронтальной плоскости проекций. На рис. 45 показана фронталь f плоскости α.

Алгоритм построения фронтали (рис. 46).

1. Фронталь плоскости как прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, имеет горизонтальную проекцию f₁, параллельную оси 0Х. Поэтому вначале на горизонтальной проекции заданной плоскости строится характерный признак фронтали. На рис. 46 f₁(A₁1₁)∥0X.

2. По принадлежности прямой плоскости (алгоритм принадлежности прямой плоскости) достраивается недостающая проекция горизонтали плоскости f₂.

Линия наибольшего ската. Линия наибольшего ската – прямая, которая лежит в этой плоскости и перпендикулярная горизонталям этой плоскости. Угол α (рис. 47) между линией наибольшего ската и ее горизонтальной проекцией равен углу наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций. Поэтому линия наибольшего ската характеризует угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций.

Алгоритм построения линии наибольшего ската (рис. 48).

1. В заданной плоскости проводится горизонталь h.

2. Используя теорему о прямом угле, на первой проекции плоскости, строится проекция линии наибольшего ската l₁(В₁2₁)  h₁(C₁1₁).

Рис. 45 Рис. 46

Рис. 47 Рис. 48

3. По принадлежности прямой плоскости достраивается недостающая проекция l₂ линии наибольшего ската.

Следует отменить, что все линии наибольшего ската параллельны между собой и перпендикулярны горизонтальному следу плоскости.

Линия наибольшего наклона. Линия наибольшего наклона – прямая, которая лежит в этой плоскости и перпендикулярная фронталям этой плоскости. Угол β (рис. 49) между линией наибольшего наклона и ее фронтальной проекцией равен углу наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций. Поэтому линия наибольшего наклона характеризует угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций.

Алгоритм построения линии наибольшего наклона (рис. 50).

1. В заданной плоскости проводится фронталь f.

2. Используя теорему о прямом угле, на второй проекции плоскости, строится проекция линии наибольшего наклона f₂(В₂2₂)  f₂(A₂1₂).

3. По принадлежности прямой плоскости достраивается недостающая проекция l₁ линии наибольшего наклона.

Рис. 49 Рис. 50

Следует отменить, что все линии наибольшего наклона параллельны между собой и перпендикулярны фронтальному следу плоскости.