4. Пересечение поверхностей

В зависимости от расположения и формы поверхностей задачи делятся на группы:

1. Одна поверхность – проецирующая (задача 5).

2. Обе поверхности имеют общую ось симметрии и их оси параллельны (метод секущих плоскостей - задача 9).

3. Обе поверхности – это поверхности вращения и их оси пересекаются (метод секущих сфер – задача 10).

4.1. Метод секущих плоскостей

Для решения задач пользуются вспомогательными секущими плоскостями – посредниками. Эти плоскости могут занимать общее или частное положение.

Задача 9: Построить линию пересечения конуса и сферы (рис. 10).

Рис.10

Последовательность построения (рис.11):

1. Построить фронтальные проекции опорных точек 1₂ и 5₂.

2. Провести фронтально-проецирующую секущую плоскость β₂ на произвольной высоте.

3. Плоскость β₂ отсекает у конуса и у сферы окружности, построить горизонтальные проекции этих окружностей.

4. Найти две точки пересечения горизонтальных проекций этих окружностей - 2₁, 2_1.

5. Построить фронтальную проекцию найденных точек - 2₂.

6. Аналогичным образом строятся точки 3, 4.

7. Плавной линией соединить полученные точки.

8. Чертеж обвести с учетом видимости линий.

Рис.11

4.2. Метод секущих сфер

Этот метод применяется, если обе поверхности – это поверхности вращения и их оси пересекаются. В качестве посредника применяются сферы. Если центр сферы находится на оси поверхности вращения, то она пересекается с этой поверхностью по окружности. При условии принадлежности центра сферы оси поверхности вращения и перпендикулярности плоскости сферы этой оси, окружности проецируются в виде отрезков прямой.

Задача 10: Построить линию пересечения конуса и наклонного цилиндра (рис.12).

Дано:

Рис. 12

Для решения данной задачи применяется метод секущих сфер, т.к. пересекающиеся поверхности – это поверхности вращения и их оси пересекаются.

Решение:

Рис. 13

Последовательность построения (рис.13)

1. Обозначить фронтальные проекции опорных точек 1₂, 2₂.

2. Построить горизонтальные проекции опорных точек 1₁, 2₁.

3. Провести плоскость γ₂ – перпендикулярно П₂ на произвольной высоте.

4. Там, где плоскость γ₂ пересекла боковую образующую конуса обозначить фронтальную проекцию точки А₂.

5. Провести окружность из центра в точке О₂ радиусом О₂ А₂.

6. Окружность пересекает боковые образующие цилиндра в точках В₂, С₂. Соединить эти точки между собой.

7. Вписанная в поверхности сфера пересекла конус и цилиндр по окружностям. Там, где эти окружности пересеклись, отметить фронтальную проекцию точки 3₂ (В₂ С₂ ∩γ₂ = 3₂).

8. Построить горизонтальную проекцию точки 3₁.

9. Аналогично строятся точки 4, 5.

10. Проекция точки 6₂ лежит на пересечении линии 1₂ 3₂ 4₂ 5₂ 2₂ с осевой линией цилиндра.

11. Построить горизонтальную проекцию точки 6₁.

12. Соединить плавной линией полученные точки. Обвести чертеж с учетом видимости поверхностей.

15