1.3.2. Окно приложения cftool. Импорт данных в приложение cftool
В предыдущем разделе мы разобрали различные способы импорта данных в рабочую среду MATLAB, поскольку при работе с приложением cftool требуется, чтобы приближаемые параметрической моделью данные были записаны в вектора рабочей среды. Будем считать, что импорт данных в приложение cftool уже проделан.
Для примера мы сгенерируем данные (просто функция синус, к которой добавлены небольшие погрешности, распределенные по нормальному закону) набрав команды:
>> XData=(0:0.25:5);
>> YData=7*sin(XData)+0.1*randn(size(XData));
Теперь запустим приложении cftool, для чего достаточно набрать в командной строке MATLAB его имя >> cftool или через меню (Рис. 1).
Появляется окно приложения (Рис. 6) (ниже приведена только часть окна cftool с указанием назначения основных его компонент).
Рис. 6 Вид окна Curve Fitting Toolbox после его открытия
1 – окно указания имени модели для ее сохранения, 2 – окно выбора исходных данных
( вектора независимых и зависимых переменных, Weights – вектор значений весов независимой переменной), 3 – окно выбора модели, 4 – окно выбора метода, 5 – окно вывода графических результатов интерполирования, 6 – окно вывода числовых значений результатов, 7 - окно вывода общей информации о модели.
В раскрывающихся списках X data и Y data следует выбрать имена глобальных переменных рабочей среды MATLAB, т.е. XData и YData, соответственно. После этого на правой панели окна Data строится примерный график выбранных данных. Если установлен флаг Auto fit автоматически будет выполнен процесс приближения (Рис.7).
Рис. 7 Вид окна Curve Fitting Toolbox после выбора данных и способа приближения
(полином 1-ой степени): 1 – информация о модели, 2 – выбранный интерполянт
Окно Weights предназначено для выбора вектора, содержащего веса элементов вектора независимой переменной (в нашем случае XData). Если это не требуется, то веса можно не указывать, по умолчанию они все равны единице.
После выбора векторов с данными следует задать имя множеству данных. Для этого следует ввести его имя Proba fit 1 в окне Fit name.
Информация о модели
Linear model Poly1: |
Интерполяция полиномом 1-ой степени |
f(x) = p1*x + p2 |
Вид полинома |
where x is normalized by mean 2.5 and std 1.551 |
|
Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = -3.992 (-5.537, -2.448) p2 = 0.8378 (-0.6695, 2.345) |
Найденные значения коэффициентов (p1 и p2) вместе с доверительными интерва-лами, соответствующими уровню вероят-ности 95% |
SSE: 206.9 R-square: 0.6064 Adjusted R-square: 0.5857 RMSE: 3.3 |
Вычисленные критерии пригодности приближения |
1.3.8. Оценка качества приближения
После приближения данных стандартной параметрической моделью или моделью, заданной пользователем, оценка качества приближения может быть проведена как графически, так и с использованием различных критериев пригодности приближения: SSE (сумма квадратов ошибок), R-square (критерий R-квадрат), Adjusted R-square (уточненный R-квадрат), RSME (корень из среднего для квадрата ошибки). Кроме того, можно вычислить доверительные интервалы для найденных значений параметров модели, соответствующие различным уровням вероятности, и доверительные полосы для приближения и данных, так же соответствующие различным уровням вероятности.
Визуальная оценка качества приближения
Во-первых, построив графики данных и параметрической модели уже можно сделать предварительный вывод о том, насколько хорошо выбранная модель (с найденными значениями параметров) соответствует данным.
Например, при приближении следующих данных
x = 0:0.05:5;
y = x.*sin(3*x)+sqrt(4*x)+0.2*rand(size(x));
степенным полиномом вида f(x) = p1*xn + p2*x(n-1) + p3*x (n-2) +…+ pn*x + p(n+1)
при различных значениях степени n получим следующие графические отображения результатов (Рис. 8,9,10,11)
Рис. 8 Результаты приближения данных полиномом первой степени
Рис. 9 Результаты приближения данных полиномом четвертой степени
Рис. 10 Результаты приближения данных полиномом седьмой степени
Рис. 11 Результаты приближения данных полиномом девятой степени
По виду сглаживающих функций можно судить о качестве приближения.
Во-вторых, визуально о качестве приближения можно судить по распределению ошибок, т.е. разности данных в заданных точках и значений параметрической модели в этих же точках. Если ошибки достаточно равномерно распределены около нуля и в их поведении нет выраженной тенденции, то тем лучше приближение (Рис. 12,13)
Рис. 11 Результаты приближения данных полиномом первой степени и график распределения ошибок в исходных точках приближаемой функции
Рис. 12 Результаты приближения данных полиномом девятой степени и график распределения ошибок в исходных точках приближаемой функции
Для оценки пригодности приближения применяют так же ряд числовых критериев, вычисляемых автоматически в приложении cftol.
Количественная оценка пригодности приближения
Критерий SSE (Sum of squares due to error) - сумма квадратов ошибок.
Критерий SSE вычисляется по формуле:
где wk - веса (если они не заданы при импорте данных, то считаются равными единице), yk - данные в xk, а k - значения параметрической модели в xk. Близость SSE к нулю говорит о хорошем качестве приближения данных параметрической моделью.
Критерий R-квадрат (R-square) - квадрат смешанной корреляции.
Критерий R-квадрат определяется как отношение суммы квадратов относительно регрессии SSR к полной сумме квадратов (SST), т.е.
где
-
среднее.
Критерий R-квадрат может принимать значения только от нуля до единицы и, как правило, чем ближе он к единице, тем лучше параметрическая модель приближает исходные данные.
Однако, при увеличении числа параметров модели значение критерия R-квадрат может увеличится, хотя вместе с тем, качество приближения не улучшится. В связи с этим часто применяют другой критерий - уточненный R-квадрат, в который входит число коэффициентов параметрической модели.
Уточненный R-квадрат (Adjusted R-square)
Если число данных равно n, а число параметров модели равно m, то критерий уточненный R-квадрат определяется так:
Его значение не может превышать единицы, а близкие к единице значения уточненного R-квадрат свидетельствуют о хорошем приближении исходных данных параметрической моделью.
Корень из среднего для квадрата ошибки RSME (Root mean Squared Error)
Близкие к нулю значения RSME означают хорошее приближение исходных данных параметрической моделью.
Значения вышеперечисленных критериев приближения данных параметрической моделью выводятся в окно Results и в таблицу Таble of fits окна Fitting после вычисления параметров модели.
1.3.5. Стандартные параметрические и непараметрические модели
Curve Fitting Toolbox содержит ряд стандартных параметрических и непараметрических моделей, которые выбираются в диалоговом окне 3 (Рис. 6). После входа в меню окна предлагается выбрать одну из моделей (Рис. 13).
Рис. 13 Вид окна выбора модели приближения
Параметрические модели
1. Экспоненциальные модели (Exponential)
2. Отрезки ряда Фурье (Fourier)
3. Сумма синусов (Sum of Sin Functions)
4. Гауссовы модели (Gaussian)
5. Модель Вейбула (Weibull)
6. Степенные модели (Power)
7. Полиномиальные модели (Polynomials)
8. Дробно-рациональные модели (Rational)
Эти модели представляются дробью, в числителе и знаменателе которой стоят полиномы до пятой степени включительно. Коэффициент при старшей степени в знаменателе равен единице для однозначного определения дробно-рационального выражения.
Искомыми являются коэффициенты полиномов, стоящих в числителе и знаменателе дроби.
При выборе модели этого типа в раскрывающемся списке Type of fit появляются два списка для выбора степени числителя и знаменателя (Рис. 14).
Рис. 14 Вид окна выбора параметров для
дробно-рациональной модели приближения
Непараметрические модели