Интервальные оценки параметров

Точность точечных оценок характеризуется их дисперсией. При этом отсутствуют сведения о том, насколько близки полученные оценки истинным значениям параметров. В ряде задач требуется не только найти для параметра подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Необходимо узнать, к каким ошибкам может привести замена параметра его точечной оценкой и с какой степенью уверенности следует ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы.

Такие задачи особенно актуальны при малом числе опытов , когда точечная оценка в значительной степени случайна и приближенная замена на может привести к значительным ошибкам.

Более полный и надежный способ оценивания параметров распределений заключается в определении не единственного точечного значения, а интервала, который с заданной вероятностью накрывает истинное значение оцениваемого параметра.

Пусть по результатам опытов получена несмещенная оценка параметра . Необходимо оценить возможную ошибку. Выбирается некоторая достаточно большая вероятность (например ), такая, что событие с этой вероятностью можно считать практически достоверным событием, и находится такое значение , для которого

. (8.15)

В этом случае диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене на , будет , а большие по абсолютной величине ошибки будут появляться лишь с малой вероятностью .

Выражение (8.15) означает, что с вероятностью неизвестное значение параметра попадет в интервал

. (8.16)

Вероятность называется доверительной вероятностью, а интервал , накрывающий с вероятностью истинное значение параметра, называется доверительным интервалом. Заметим, что неправильно говорить, что значение параметра лежит внутри доверительного интервала с вероятностью . Используемая формулировка (накрывает) означает, что хотя оцениваемый параметр и неизвестен, но он имеет постоянное значение и, следовательно, не имеет разброса, поскольку это не случайная величина.

Задача определения доверительного интервала может быть решена только тогда, когда удается найти закон распределения случайной величины . В общем случае этот закон зависит от закона распределения случайной величины и, следовательно, и от его неизвестных параметров (в частности, и от самого оцениваемого параметра). Однако иногда удается перейти при получении оценки к таким функциям опытных данных, закон распределения которых зависит только от величины и закона распределения случайной величины и не зависит от неизвестных параметров.

Пусть проведено независимых испытаний над случайной величиной , числовые характеристики которой – математическое ожидание и дисперсия – неизвестны. Для этих параметров получены точечные оценки:

; . (8.17)

Требуется найти доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности , для математического ожидания случайной величины .

Так как случайная величина представляет собой сумму независимых и одинаково распределенных случайных величин , то согласно центральной предельной теореме при достаточно больших (на практике порядка 1020) ее закон распределения близок к нормальному. Таким образом получаем, что случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией (см. (7.3–7.4)). Если величина дисперсии неизвестна, то в качестве ее оценки можно использовать . В этом случае найдем такое , для которого

.

При использовании формулы (4.37) получаем

,

где – среднее квадратичное отклонение оценки .

Из уравнения

находим значение :

, (8.18)

где – функция, обратная , – квантиль порядка стандартного нормального распределения.

Таким образом, приближенно решена задача построения доверительного интервала в виде

,

где определяется формулой (8.18).

Чтобы избежать при вычислении обратного интерполирования в таблицах функции , обычно составляется небольшая таблица, в которой приводятся значения квантилей в зависимости от наиболее часто используемых значений доверительной вероятности (табл. 8.4).

Таблица 8.4
0,9	1,643
0,95	1,960
0,99	2,576
0,9973	3,000
0,999	3,290

Величина определяет для нормального закона распределения число средних квадратичных отклонений, которое нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания для того, чтобы вероятность попадания на этот участок была равна .

С использованием величины доверительный интервал будет иметь вид

.