1. Основные понятия моделирования химико-технологических процессов.

Моделирование – старейший и важнейший метод науки и техники.

Моделирование – один из важнейших методов, широко применяемых в современной науке, в первую очередь в ее прикладных областях. Моделирование позволяет ускорить технический прогресс, существенно сократить сроки освоения новых производств. В эпоху научно-технической революции особенно бурно развивается одно из новых направлений – математическое моделирование. Его развитие теснейшим образом связано с развитием информатики и вычислительной техники.

Оригинал и модель – их сходство, по существу, и различие во всем ином. Два подхода к моделированию. Физическое (аналоговое, натурное) моделирование. Примеры аналоговых моделей: личность и портрет, скорость механического движения и отклонение стрелки амперметра, концентрация реагента и ток в электрической схеме, крыло самолета и деревянная модель в аэродинамической трубе.

Суть моделирования заключается в следующем. Мы хотим исследовать поведение какого-либо объекта (оригинала) в тех или иных условиях. Но вместо оригинала исследуем поведение другого объекта – модели, а затем распространяем выводы такого исследования на оригинал – заключаем, как будет вести себя он.

Пример 1.1. Прежде чем строить и запускать в воздух самолет, конструкторы подвешивают в аэродинамической трубе модель самолета и обдувают ее струей воздуха. Здесь моделью является не только малая геометрическая копия, подобная будущему оригиналу, но и воздух, движение которого моделирует движение самолета в атмосфере (поскольку движение относительно, то безразлично, летит ли аппарат в воздухе или воздух обтекает его).

В примере 1.1 модели – некоторые материальные объекты, поведение которых «похоже» на поведение оригинала (аналогично ему). Необходимо только знать правило, по которому результаты эксперимента с моделью можно пересчитать на параметры, характеризующие оригинал (правило традукции). Такие модели обычно называют материальными. Но есть еще один класс моделей. Мы можем составить в уме схему (описание) нашего оригинала и затем, производя с этим описанием какие-либо преобразования, прийти к выводам, допускающим традукцию на оригинал. В таких случаях говорят о мысленных моделях. Здесь важнейший для практики вариант – тот, в котором описание дается на языке математики (математическая модель). В этом смысле любое математическое описание какого-либо процесса является его математической моделью. Чаще всего такая модель представляет собой уравнение или систему уравнений.

При этом компьютер, решающий уравнения математической модели, ведет себя как материальная модель. В него можно вводить условия функционирования оригинала, и он покажет, как тот поведет себя в заданных условиях. Математическую модель, если она простая, можно исследовать и на бумаге, а иногда даже в уме. Главное, что отличает моделирование, это не просто вывод или решение уравнений, а исследование поведения объекта в различных условиях.

Перенос данных с модели на объект: понятия подобия, масштабирования, традукции.

При организации моделирования возникают вопросы: какие условия обеспечат традукцию и какова возможность распространения полученных данных на поведение оригинала? Эти условия различны в физическом и математическом моделировании. Традуктивность при физическом моделировании обеспечивается подобием оригинала и модели. Теория подобия – важнейшая часть теоретического фундамента науки о процессах и аппаратах химической технологии. Очень коротко можно сказать так: если два объекта (две системы) физически подобны друг другу, то процесс в каждом из этих объектов может быть описан набором безразмерных характеристик – чисел подобия, и в соответствующих точках обоих объектов числа подобия имеют равные значения. При этом те же самые числа играют роль критериев подобия – признаков, по которым можно установить, что подобие существует. А именно: если краевые и начальные условия процесса, выраженные через числа подобия, для одной системы – количественно такие же, как для другой, то процессы в обеих системах протекают подобным образом, системы все время остаются подобными друг другу. Набор необходимых критериев подобия определяют либо исходя из дифференциальных уравнений, описывающих процесс, либо основываясь на анализе размерностей.

Метод подобия оказался высокоэффективным при моделировании гидромеханических процессов (течение жидкостей в каналах, фильтрация через пористые среды, движение морских и воздушных судов), процессов переноса тепла и вещества. Значительные трудности возникли при попытках моделировать на основе подобия химические процессы – процессы, основным содержанием которых являются химические превращения (реакции). Многолетний анализ этих трудностей показал, что во многих случаях они непреодолимы. Дело в том, что при изменении размеров объекта (масштабировании) разные критерии подобия могут предъявлять противоречащие друг другу требования к условиям проведения процесса в модели.

Большинство химических процессов – это системы, подсистемами которых является целый ряд процессов, каждый из которых требует своих условий подобия. Очень часто реакция – сложная, и каждая из ее стадий по-своему зависит от концентраций и температуры; на ход реакции сильно влияют выделение (или поглощение) и перенос тепла, перенос вещества, движение потоков. Лишь в некоторых достаточно простых случаях удается сформулировать условия проведения процесса так, что масштабирование оказывается возможным. Чаще всего так бывает при проведении достаточно медленных реакций в аппаратах с мешалками. В большинстве остальных случаев добиться подобия при масштабировании не удается.

Сложности, связанные с нарушением подобия при масштабировании, явились причиной того, что в середине прошлого века моделирование химических процессов находилось в глубоком кризисе. Выход из него нашелся – это математическое моделирование, где трудности, сопряженные с обеспечением подобия, снимаются. Здесь есть лишь одно главное требование: математическое описание моделируемой системы должно быть адекватным. Необходимо, чтобы все основные количественные закономерности достаточно точно воспроизводились в математической модели, остальное – уже дело вычислительных методов и вычислительной техники. А первое и самое главное – хорошо составленное математическое описание. Эффективность математического моделирования связана с замечательной особенностью многих систем – аналогией между ними. Аналогия – понятие, более широкое, чем подобие, о котором шла речь выше. Это определенное сходство между разными системами, причем физическое содержание этих систем может очень различаться. Важнейшее для практики свойство аналогичных систем – общность их математических описаний. Разные системы оказываются одинаково описанными, и их математическое моделирование осуществляется однообразно. В этом проявляется замечательная особенность математики – быть универсальной моделью, моделью любых систем. Аналоговое моделирование – моделирование, основанное на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально

(одними и теми же математическими соотношениями, логическими и структурными схемами).

Таким образом, аналогия не предполагает тождественности физической природы модели и прототипа, но требует, чтобы модель при некоторых условиях вела себя аналогично поведению оригинала (косвенное подобие). Аналогия основана на возможности моделирования явления (системы, процесса) одной природы явлениями (системами, процессами) совсем другой природы. Например, электромеханическая аналогия: колебания в механических системах можно моделировать колебаниями в электрических цепях. При этом модель (аналог) и оригинал (прототип) описываются одинаковыми математическими соотношениями, например дифференциальными уравнениями.

Математическое моделирование. Эмпирическая и структурная модель, их сходство и различие. Мысленные, абстрактные модели. Алгебраические и дифференциальные уравнения и системы как модели физических объектов и процессов.

Примеры математических моделей: Кошелек с деньгами и счет в банке. Истечение жидкостей, фильтрация жидкостей, ускорение материальных объектов, вязкое течение жидкостей, диффузия веществ в неподвижной среде, теплопроводность в твердых, жидких и газообразных средах, электропроводность.

Линейные алгебраические уравнения и системы – самая простая и распространенная форма математической модели. Многие явления подчиняются идентичным, и часто линейным уравнениям алгебры – отсюда универсальность математических моделей.

В структуре математических моделей разных процессов и явлений часто наблюдаются аналогии. Пример: равноускоренное одномерное перемещение и рост счета в банке с учетом процентов.

Адекватность моделирования. Общее понятие о применимости результатов моделирования к объекту моделирования. Зависимость понятия адекватности от сферы применения модели.

Пример: адекватность по цвету, по скорости, по массе, по форме, по срокам, по стоимости. Необходимость учета статистических характеристик измерений при оценке адекватности по количественным критериям.

Сложности, связанные с нарушением подобия при масштабировании, явились причиной того, что в середине прошлого века моделирование химических процессов находилось в глубоком кризисе. Выход из него нашелся – это математическое моделирование, где трудности, сопряженные с обеспечением подобия, снимаются. Здесь есть лишь одно главное требование: математическое описание моделируемой системы должно быть адекватным. Необходимо, чтобы все основные количественные закономерности достаточно точно воспроизводились в математической модели, остальное – уже дело вычислительных методов и вычислительной техники. А первое и самое главное – хорошо составленное математическое описание. Эффективность математического моделирования связана с замечательной особенностью многих систем – аналогией между ними. Аналогия – понятие, более широкое, чем подобие, о котором шла речь выше. Это определенное сходство между разными системами, причем физическое содержание этих систем может очень различаться. Важнейшее для практики свойство аналогичных систем – общность их математических описаний. Разные системы оказываются одинаково описанными, и их математическое моделирование осуществляется однообразно. В этом проявляется замечательная особенность математики – быть универсальной моделью, моделью любых систем.

Системный подход в моделировании. Система как совокупность связанных элементов. Связь не только механическая, но и любого иного типа, например, логическая. Состав элементов. Структура элементов. Статическая и динамическая система. Термодинамика и кинетика как примеры. Материальные и нематериальные элементы системы, например: стадии, мысли, слова, люди, уравнения, подсистемы. Определенные и неопределенные элементы, категории, классы.

Система – совокупность каких-либо элементов, связанных, взаимодействующих друг с другом. Причем характер связей (взаимодействий) не менее важен для существования системы, чем сам набор элементов. Совокупность связей называют структурой системы.

Пример 1.3. Комплект оборудования для работы химического производства, лежащий на складе, системой еще не является. После того как это оборудование соединили в соответствии со структурой процесса и оно заработало (связи актуализированы), тот же набор аппаратов, машин, коммуникаций стал системой.

Элементами системы необязательно являются некие изделия, как в предыдущем примере, или вообще какие-то материальные предметы. Для нас важно рассматривать в качестве системы процесс, элементами которого являются более простые процессы (стадии). Так, химико-технологический процесс – система, которую можно мысленно разбить на стадии химического взаимодействия, процессов тепло- и массообмена, движения потоков и т.д. Ни понять смысл процесса, ни управлять им невозможно, не понимая, как эти стадии связаны друг с другом, как они влияют друг на друга. В иных задачах фигурируют системы, элементами которых могут быть математические выражения (например, система уравнений), мысли (например, система взглядов), слова (любой текст есть система) и т.д. Выделяют системы статические, не меняющиеся во времени (система уравнений, система слов в древнем тексте), и динамические. Типичная динамическая система «живет», все время взаимодействуя с окружающим миром и изменяясь. Чаще всего элементы данной системы сами являются системами. Такие элементы называют подсистемами.

Пример 1.4. Один из важнейших элементов любого процесса биотехнологии – жизнедеятельность микроорганизмов, осуществляющих потребные нам реакции. Но жизнедеятельность любого организма сама по себе – сложнейший процесс, обладающий всеми чертами системы. Стало быть, она является подсистемой технологического процесса.

Иерархия подсистем в природе и в модели как важнейшая особенность систем. Модели динамики потоков, химической кинетики, массопередачи, теплопередачи и т.п. Точечный объем – основа крупных математических моделей.

Системный иерархический подход М.Г. Слинько в применении к моделям кинетики химических реакций, моделям химических реакторов.

Уровни иерархии включают: молекулярный уровень, активный центр, пора, зерно катализатора, слой катализатора, рабочая зона аппарата, аппарат в целом, агрегат и т.д.

В огромном числе систем существует иерархия подсистем: система состоит из подсистем первого уровня, каждая из них образована подсистемами второго уровня и т. д., причем количество уровней может быть очень велико. В таких случаях часто бывает удобно анализировать закономерности поведения системы, начиная с наинизшего уровня и переходя затем на более высокие. Так, для химико-технологического процесса используется иерархическая структура математической модели, предложенная М. Г. Слинько. Модель строится путем последовательного перехода в описании процесса с одного уровня на другой.

1. Молекулярный уровень – описание процессов, протекающих в масштабе порядка расстояния между молекулами. Их закономерности – это прежде всего закономерности химической кинетики.

2. Уровень малого объема, на котором объектом описания является, например, процесс на одном зерне катализатора или в пузырьке газа, поднимающемся в барботажном слое, и в обтекающей его жидкости, или на одном элементе насадки в насадочной колонне и т.д. Здесь закономерностей предыдущего уровня уже недостаточно, необходимо дополнить их закономерностями существенных в этом масштабе процессов тепло- и массопереноса. Анализ кинетических закономерностей в условиях одновременного протекания процессов переноса – предмет научного направления, называемого макрокинетикой

3. Уровень рабочей зоны аппарата (слой катализатора, барботажный слой, насадочный слой и т. д.), на котором необходимо учитывать эффекты, связанные с характером движения потока. В ряде случаев (например, при гомогенных реакциях) на этот уровень можно перейти прямо с первого.

4. Уровень аппарата, при переходе на который учитывают число, конфигурацию, взаимную связь и взаимное расположение рабочих зон. Например, аппарат может содержать несколько слоев катализатора, между которыми располагаются промежуточные теплообменники.

5. Уровень агрегата, где учитываются взаимные связи между аппаратами. Модель каждого высшего уровня содержит модели низших уровней и соотношения, описывающие переход с одного уровня на другой. Такой подход часто позволяет анализировать и моделировать процесс по частям, что существенно упрощает анализ; в то же время при этом не упускается из виду структура – характер связей уровней.

Детерминированные и стохастические, континуальные и дискретные, внутренние и внешние, открытые и закрытые системы.

Обобщенная форма детерминированной математической модели: Y=(X,Z). Явные и неявные по форме уравнения моделей

Входные величины факторы (регулируемые и нерегулируемые, активные и пассивные, точечные и распределенные).

Выходные величины отклики. И те, и другие могут быть непрерывными и дискретными.

Положительные и отрицательные обратные связи в системе.

Внешние связи системы. Определяя понятие «система», я уже говорил об исключительной важности связей между ее элементами. Для динамических систем не менее важны внешние связи – взаимодействия системы с окружающим ее миром. Внешние связи бывают двух основных классов: воздействия мира на систему – входы системы и воздействия системы на мир – ее выходы, результат функционирования системы. Особый случай – обратные связи: выход системы оказывает влияние на ее вход. Существуют положительные обратные связи, когда усиление выходного сигнала усиливает сигнал на входе, и отрицательные обратные связи, когда с усилением выходного сигнала входной ослабляется. Как правило, действие положительных обратных связей приводит к возбуждению системы, интенсификации ее деятельности; в неблагоприятных случаях это может привести к тому, что система «пойдет вразнос». Наоборот, отрицательные обратные связи стабилизируют состояние системы.

Пример 1.5. Теплокровные животные, в том числе и люди, все время сохраняют почти постоянную температуру тела. Это обеспечивается рядом отрицательных обратных связей. Если окружающая температура понижается, включаются процессы, препятствующие охлаждению тела: например встает дыбом шерсть, снижая теплоотдачу; возникает дрожь, и при работе дрожащих мышц выделяется тепло (у человека шерсти нет, но механизм ее подъема еще сохранился – на коже появляются мурашки – напряжение 1.1. Моделирование и модели 15 микромышц, поднимавших волосы у наших предков). Если же температура слишком велика, усиливается выделение пота, его испарение забирает излишек тепла. Эта система обратных связей обеспечивает гомеостаз – свойство очень многих систем поддерживать свое состояние в таких пределах значений параметров, которые не угрожают существованию системы.

Пример 1.6. Как происходит взрыв атомной бомбы? Влетевший в массу урана или плутония нейтрон (например, возникший при действии космических лучей) вызывает распад ядра с образованием более чем одного нейтрона. Это положительная обратная связь. Часть нейтронов вылетает наружу – это отрицательная обратная связь. Если масса металла меньше критической, превалируют отрицательные связи и система стабильна. Если критическая масса превзойдена, система идет вразнос – происходит взрыв.

О классификации входов системы. Входные воздействия (чаще всего будем называть их факторами, влияющими на систему) можно подразделить на две основные группы. Первая – контролируемые факторы. Это те воздействия, величины которых мы знаем или по крайней мере можем узнать, когда это потребуется. В свою очередь, эта группа факторов подразделяется на регулируемые и нерегулируемые. Регулируемые (управляющие) факторы те, значения которых мы сознательно меняем (регулируем) с целью управлять процессом – улучшать его показатели. Значения нерегулируемых факторов мы можем знать, но не изменяем, либо оставляя постоянными, либо мирясь с тем, что они как-то меняются помимо нашей воли, и лишь приспосабливаясь к этим изменениям. Существуют, по крайней мере, три причины, по которым фактор может оказаться нерегулируемым: 1) его изменение практически невозможно – например, это размер установленного аппарата; 2) его можно изменить, но это слишком дорого – например, это состав поступающего сырья; 3) он слабо влияет на процесс и его нецелесообразно регулировать – например, это содержание аргона в воздухе, поступающем в топку.

Пример 1.7. В большинстве технологических процессов температура и влажность окружающего воздуха не регулируются. Однако при изготовлении синтетических тканей эти факторы заметно влияют на качество продукции и их необходимо регулировать (кондиционировать воздух).

Кроме контролируемых факторов в любом процессе наличествует бесчисленное множество факторов неконтролируемых, причем мы можем даже не знать о их существовании. Почему так может быть? Во-первых, мы иногда не знаем, что данный фактор заметно влияет на наш процесс. В таких случаях приходится говорить, что процесс недостаточно изучен, и зачастую без дальнейших исследований его нельзя реализовать. Но есть и иная причина, действующая даже тогда, когда процесс изучен хорошо. В любом реальном случае имеется огромное, практически бесконечное число очень слабых воздействий. Каждое из них нет смысла контролировать, потому что оно слабое. Все – нельзя потому, что их слишком много. В то же время совокупное действие этого множества уже не мало, оно заметно влияет на функционирование системы. Это влияние обладает одной важной особенностью. Не контролируя входы, мы не можем знать, каково оно в данный момент и каким окажется впоследствии. Поэтому воздействие неконтролируемых факторов носит случайный характер. При измерениях оно выражается в случайных погрешностях, в эксперименте – в случайных ошибках, при протекании любого процесса – в случайных возмущениях.

Дискретные величины принимают определенные конечные значения. Непрерывные величины: количественные данные, принимающие значения на непрерывной шкале значений. Примеры непрерывных переменных: (температура, давление, скорость, ускорение, сила тока, концентрация и тд)

Шум – флуктуации, погрешности, ошибки, возмущения. Упрощенная форма: Y=F(X)+(Z) – зависимость (математическая детерминированная модель) плюс шум.

Случайные неконтролируемые воздействия могут не только приходить извне, но и возникать внутри системы. Однако чаще всего нет смысла подробно разбираться, откуда они исходят: случайные колебания, случайные отклонения в процессе целесообразно рассматривать как нечто единое. Часто это единое обозначают термином шум.

На систему воздействуют изменяющиеся входные факторы, и система отвечает на их изменения изменением выходных величин (откликов системы на воздействия). Для сокращения записи используем понятие «вектор»: вектор – упорядоченная последовательность величин (например, последовательность значений всех факторов или всех выходов системы в данный момент, записанная в строку или в столбец). Векторы (а в дальнейшем и матрицы) будем обозначать полужирными буквами. Так, вектор факторов Х – это записанные по порядку значения х1 , х2 , х3 , …, хn , где n – число факторов. Тогда математическое описание для любого из выходов системы имеет наиболее общий вид

где i – номер выходной величины; X – вектор контролируемых факторов; Z – вектор неконтролируемых факторов. Но пользоваться уравнением (1.8) или хотя бы установить его вид невозможно. Ввиду неконтролируемости Z нет возможности даже составить список аргументов функции. В большинстве случаев удается упрощенно записать эту функцию в виде

разбив ее на два слагаемых: зависимость Fi (X) и шум Ψi (Z). Тогда задача получения математического описания разбивается на две: установить вид каждой из зависимостей Fi и оценить шум Ψi . Это разные задачи. Для Fi необходимо получить аналитическое выражение, а для Ψi – случайной величины – лишь оценку, указывающую, в каких пределах и с какой вероятностью может колебаться шум. Чаще всего математической моделью называют именно набор функций F :

полагая, что это и есть «истинная» зависимость, а наличие шума лишь искажает ее.

Структурный и эмпирический подходы, их связь, достоинства и недостатки. Параметры и их определение. Эксперимент и его планирование.

Существует два подхода к описанию системы. Первый подход можно назвать структурным. Суть его заключается в следующем. Для создания математической модели системы прежде всего исследуем ее структуру – составляющие систему элементы и характер их взаимодействия. Применительно к технологическому процессу это означает расшифровку его механизма. В результате получается схема процесса – его мысленная модель. Для химико-технологического процесса мысленная модель на физическом языке содержит прежде всего представления о механизмах реакций, характере движения потоков, процессах переноса тепла и вещества и о взаимном влиянии химизма, гидравлики, тепло- и массопереноса. Записав эту схему на языке математики, получаем некую систему уравнений, описывающих процесс. Обычно на этом этапе уравнения получаются в общем виде – в них входят некоторые пока неизвестные коэффициенты (константы скоростей реакций, коэффициенты тепло- и массоотдачи и др.). Эти коэффициенты называют параметрами модели. Для определения параметров ставится эксперимент (на моделях, а иногда и на оригинале, если таковой имеется), результаты которого позволяют получить математическое описание в полном виде, со всеми коэффициентами. Второй подход к описанию системы – эмпирический. Другое его распространенное название – метод черного ящика. Предположим, что структура интересующей нас системы скрыта от нас (как бы заключена в «черный ящик»). Это не означает, что системой нельзя управлять. Как бы черен ни был ящик, у системы есть важные контакты, которыми можно воспользоваться для ее анализа и управления ею. Эти контакты – входы и выходы системы. Будем изменять значения входов и определять, как при этом изменяется отклик. Каждый такой акт – изменение входов и определение отклика – есть не что иное, как эксперимент. Проведя определенное число экспериментов, опишем их результаты эмпирическим уравнением или системой эмпирических уравнений. Эти уравнения и будут математической моделью, которой можно воспользоваться для моделирования данной системы.

Любое эмпирическое описание отражает, хотя и в неявной форме, механизм процесса. Иногда это отражение оказывается настолько характерным и точным, что анализ эмпирического уравнения прямо приводит к раскрытию механизма. Эмпирическое уравнение обязательно содержит в себе структуру, но только структуру нерасшифрованную. Поэтому четкое противопоставление обоих подходов носит характер методический, а не прикладной. В практических задачах наблюдаются самые разнообразные соотношения между уровнями структурности и эмпиричности применяемых методов. Главное достоинство эмпирического подхода – простота. Особенно существенно оно сказывается при изучении очень сложных процессов. Главная его слабость – малая надежность экстраполяции. В пределах изменения переменных, изученных в опытах, предсказание поведения процесса (интерполяция) обычно может проводиться достаточно точно. Но закон изменения функций отклика за изученными пределами нам неизвестен и можно допустить серьезную ошибку, полагая, что процесс по-прежнему обязательно будет подчиняться выведенным эмпирическим уравнениям.

В практике моделирования одним из важнейших случаев экстраполяции является масштабирование: предсказание того, как изменятся параметры процесса при переходе от малой модели к большому оригиналу. На основе эмпирических зависимостей эта задача, как правило, решается гораздо хуже, чем при структурном подходе. Главное достоинство данных, полученных на основе структурного подхода, – их большая прогностическая мощность. Зная достаточно полно механизм какого-либо процесса, можно с большой степенью достоверности предсказывать ее поведение в самых разнообразных условиях. Поэтому, как гласит известный афоризм, «нет ничего практичнее хорошей теории». Слабое место подхода – трудность создания хорошей теории сложных процессов. Если выделить лишь один элемент химико-технологического процесса – его гидродинамику, то приходится считаться с отсутствием на сегодня сколько-нибудь удовлетворительной общей теории турбулентности. Далее, современная химия охватывает сотни тысяч веществ, и если задаться целью всерьез расшифровать механизмы реакций получения всех этих веществ, то вряд ли удастся достичь этой цели в обозримый срок. Подобные затруднения встречаются на каждом шагу. Понятно, что рассчитать эмпирические уравнения, как правило, бывает проще, чем получить информацию, достаточную для расшифровки механизма процесса.

Матописание при структурном подходе (балансы, аддитивность): субстанция, контур, база. Пять статей баланса: Вход, Уход, Источник, Сток, Накопление. Стационарность.

В любом сколько-нибудь серьезном случае все описание объекта, как бы хорошо он ни был изучен, нельзя построить на чисто теоретической основе. Какие-то параметры всегда придется определять из опытов и опытным же путем проверять адекватность модели – достаточную точность ее соответствия оригиналу.

Большинство математических моделей химико-технологических процессов основываются на уравнениях баланса. Эти уравнения устанавливают соотношения между прибылью и убылью различных субстанций в рассматриваемой системе. Аддитивность – свойство балансовых уравнений, означающее, что их можно было складывать и вычитать. Все балансовые уравнения должны обладать аддитивностью.

Для составления баланса необходимо выбрать три вещи:

1. Субстанция. Субстанцией может быть, например, вещество. Тогда имеем уравнение материального баланса. Если субстанция – тепло, то получим уравнение теплового баланса. Обратим внимание вот на что: закона сохранения тепла не существует, оно может возникать (из других форм энергии), может исчезнуть, перейдя в другие формы, но это не препятствует определению баланса. Что же касается материального баланса, то здесь встречаются два основных случая. Один – когда в качестве субстанции выбрана вся совокупность веществ, проходящих через систему. В этом случае действует закон сохранения массы, что учитывается при записи уравнения. Другой случай: субстанция – одно из веществ. Для конкретного вещества нет закона сохранения. Оно может возникать как продукт реакции, может исчезать, превращаясь в другие вещества.

2. Контур, ограничивающий в пространстве систему или ее часть (подсистему), для которой будет составляться баланс. Контур может охватывать рассматриваемый нами аппарат либо совокупность нескольких связанных между собой аппаратов, либо только одну рабочую зону аппарата. Каждый раз получим иное уравнение баланса. Особый случай – когда контур охватывает бесконечно малый элементарный объем. Часто такой подход является самым плодотворным. Заметим, что при этом, вследствие бесконечной малости объема, математическая модель получится в виде дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений. И еще один особый вариант – когда контур «разорван» в пространстве (многосвязен). Так, дальше при рассмотрении задач стехиометрического анализа в некоторых случаях контур «охватывает» все молекулы данного сорта, не включая иные молекулы, при этом такая особенность контура может быть специально не оговорена, приходится о ней догадываться.

3. Интервал времени, за который составляется баланс. Здесь тоже возможен ряд вариантов. В качестве интервала можно принять единицу времени: составить баланс за секунду, за год. Можно рассмотреть баланс за бесконечно малый интервал времени dt. При этом, как и в случае бесконечно малого элементарного объема, упрощаются многие закономерности, и также получается математическая модель в форме дифференциальных уравнений. Возможен и такой выбор: наш интервал – время операции, без явного соотнесения его с единицей времени. Например, мы вправе рассматривать баланс химического синтеза за полное время синтеза, сколько бы оно не длилось, или, скажем, в периодическом процессе отдельно составить баланс за время загрузки, отдельно – за время протекания реакции и т.д.

Часто баланс относят к базе расчета. Например, при рассмотрении процесса синтеза аммиака в качестве базы расчета можно принять получение 1000 т аммиака или переработку 1 000 000 м³ азотоводородной смеси. Несложно установить связь между понятиями «интервал времени» и «база расчета»: интервалом окажется время, за которое получается 1000 т продукта, или то, за которое перерабатывается 1 млн м3 исходной смеси. Но если выбрана база расчета, пересчитывать ее на время не нужно, и баланс относят непосредственно к этой базе.

После того как выбор произведен, можно приступать к составлению уравнений баланса. Уравнения эти содержат пять составных частей (пять статей баланса). Четыре первых схематически показаны на рис. 1.1. Сокращенно каждая статья обозначена первой буквой. Овал обозначает контур. В (вход) – количество субстанции, входящей снаружи в систему на протяжении выбранного интервала времени; У (уход) – количество субстанции, уходящей за тот же интервал наружу; И (источник) – количество субстанции, возникающей (образующейся) за интервал времени внутри системы; С (сток) – количество субстанции, исчезающей (расходуемой) внутри системы за тот же интервал.

Пятая статья баланса – накопление Н – на схеме не обозначена. Ее можно определить так. В каждый момент внутри системы находится какое-то количество субстанции. Накопление – это его приращение за интервал времени, разность между количеством субстанции в системе к концу интервала и количеством, которое было в начале. Из такого определения следует, что накопление может быть положительным (количество субстанции увеличилось), отрицательным (ее количество уменьшилось) и равным нулю (к концу интервала оно такое же, как было в начале). В стационарном процессе накопление равно нулю. Стационарный процесс - процесс параметры которого (во всяком случае те параметры, которые важны в рамках данного рассмотрения) не меняются во времени.

Напишем общий вид уравнения баланса:

В + И – (У + С) = Н. (1.11)

В случае стационарного процесса Н = 0 и уравнение получает вид

В + И – (У + С) = 0. (1.12)

Соблюдение уравнения (1.12) необязательно означает, что процесс стационарен. Вообще, часто, в зависимости от особенностей баланса, можно заранее сказать, что некоторые статьи равны нулю. Так, если действует закон сохранения, то, очевидно, И = 0; С = 0.

Математическое описание химических процессов в большинстве случаев состоит из уравнений баланса – прежде всего материального и теплового. Значения отдельных статей баланса обусловлены закономерностями процесса. Вход вещества определяется расходом входящего потока и концентрацией данного вещества в нем; вход тепла зависит от энтальпии входящей жидкости, ее расхода и от передачи тепла снаружи через стенки. Источники и стоки тепла и вещества пропорциональны скоростям реакций в рабочей зоне и т.д. Какими уравнениями будет описан процесс – конечными, обычными дифференциальными или дифференциальными в частных производных – зависит от выбора контура и интервала времени, а те в свою очередь – от особенностей потоков в рабочей зоне и стационарности или нестационарности процесса.

Адекватность, параметрическая чувствительность, однозначность оценок, однозначность структурной и параметрической идентификации, непрерывные и корпускулярные среды.

Ни одна модель в принципе не способна отразить оригинал полностью и всесторонне. Это положение одинаково верно как для материальных, так и для мысленных моделей. Более того, часто оказывается, что на практике целесообразнее пользоваться менее «совершенной» моделью, отражающей только отдельные черты оригинала и совсем не похожей на оригинал с других точек зрения.

Параметры модели. Чаще всего простота или сложность математической модели связаны с тем, сколько в нее входит параметров – коэффициентов, учитывающих те или иные особенности объекта. Значения параметров характеризуют свойства данного конкретного объекта, отличающие его от других объектов того же класса. Чем больше параметров входит в модель, тем подробнее удается охарактеризовать его и тем точнее описать. На одном полюсе здесь выступают предельно идеализированные модели, такие, как идеальный газ, абсолютно упругое тело и др. Уравнения при этом либо вообще не содержат параметров, включая лишь универсальные константы (идеальный газ), либо их число минимальное (модуль упругости в законе Гука). На другом полюсе — сложные многопараметрические модели, учитывающие много конкретных свойств. Так как мы всегда хотим иметь максимально точное описание объекта, с этой точки зрения сложные модели обладают несомненными преимуществами. Но у сложных моделей есть и недостатки. Прежде всего такую модель трудно обрабатывать. Если данная модель входит как составная часть в сложные модели более высоких иерархических уровней, то в конце концов может получиться такое громоздкое описание, что его не удастся обсчитать. Хотя такая наглядность, возможность составить общее представление о характере зависимости не обязательно нужна при моделировании, но обычно она заметно облегчает анализ. Еще одна трудность, связанная с применением многопараметрических моделей, — это чувствительность к ошибкам опытов. Чем больше параметров, тем более точный эксперимент требуется, чтобы достаточно хорошо оценить эти параметры. Если модель построена на основе структурного подхода, а эксперимент не очень точен, то возникает специфическая опасность потери физического смысла: можно получить неверные значения параметров, хотя модель в целом будет давать приемлемое совпадение с опытными данными. Это происходит потому, что ошибки в значениях разных параметров взаимно компенсируются. Модель остается пригодной для количественного описания объекта (в достаточно узких пределах), но физический смысл искажается — мы получаем превратное представление о величинах эффектов, связанных с параметрами. В конце концов физический смысл теряется и параметры модели получают смысл подгоночных параметров, назначение которых — лишь привести в соответствие данные и модель. Уравнение становится эмпирическим, о чем исследователь может не знать.

Основной вывод из сказанного: если необходима высокая точность описания, следует применять многопараметрические модели, но при этом эксперимент должен отличаться высокой точностью и большим объемом. Если же требования не столь велики, чаще всего целесообразно использовать простейшую из моделей, обеспечивающих нужную точность. Впрочем, в конкретных случаях требуется конкретное рассмотрение. Бывает и так, что из двух возможных моделей мы выберем несколько более сложную, зато более ясную физически. Дать непогрешимый рецепт на все случаи жизни невозможно.

Модели сплошных сред и квазигомогенные модели.

Разделы физики (и примыкающие разделы химии), исходящие из модели вещества как среды, параметры которой меняются непрерывно, объединяют названием физика сплошных сред. Предмет каждого из этих разделов в принципе можно описать и на основе молекулярных представлений. Но описание при этом получается неизмеримо более сложным. Модель сплошной среды удобна для использования такого мощного математического аппарата, как дифференциальное и интегральное исчисления. Даже в случаях, когда наряду с моделью сплошной среды существует хорошо разработанная молекулярная модель, вторая не вытесняет, а дополняет первую (сравните термодинамику и статистическую физику). Удобства, получаемые при использовании модели сплошной среды, столь велики, что таким же образом часто рассматривают объекты, состоящие не из молекул, а из гораздо более крупных частиц. Мы описываем, например, течение эмульсии в трубе как течение однородной жидкости, характеризующейся некоей эффективной вязкостью, которая сложным образом зависит от свойств и соотношения фаз, а также от размеров и формы частиц. Зерно катализатора (сложного конгломерата, по порам которого диффундирует вещество, реагирующее на стенках пор) часто описывается как некоторая однородная среда. Подобные схемы, упрощенно представляющие многофазную систему как однородную, называют квазигомогенными моделями.

Лимитирующая стадия, квазистационарное и квазиравновесное приближение, сосредоточенные и распределенные параметры, конечные и дифференциальные уравнения, прямые и обратные задачи, проектные и поверочные расчеты.

Лимитирующие стадии. Многие интересующие нас процессы многостадийны, т. е. распадаются на ряд стадий (этапов, путей). Описание и анализ многостадийного процесса удается существенно упростить в тех случаях, когда одна из стадий лимитирует процесс. То, какая именно стадия может лимитировать процесс, определяется, с одной стороны, соотношением скоростей (или производительностей, мощностей) разных стадий, а с другой – их взаимным расположением. Если стадии последовательны, то лимитирует самая медленная (наименее производительная), если стадии параллельны, то лимитирует самая производительная. Наконец, случается, что ни медленная, ни быстрая стадия не могут лимитировать процесс. Это бывает, когда, казалось бы, нелимитирующая стадия влияет на протекание той стадии, которая должна была бы лимитировать.

Стационарные и нестационарные процессы. Простейшим для анализа случаем является стационарный процесс. Его параметры (во всяком случае те параметры, которые важны в рамках данного рассмотрения) не меняются во времени, поэтому время как переменная исчезает из описания. В частности, в соответствующих уравнениях отсутствуют производные по времени. По сути своей стационарные процессы непрерывны, а значит, они обязательно проходят в открытых системах, т. е. системах, обменивающихся веществом с окружающей средой. Именно этот обмен – ввод исходных материалов и вывод продуктов – и поддерживает непрерывность. В аппарате, в котором идет непрерывный процесс, обязательно движется поток. Нестационарные процессы характеризуются изменением параметров во времени. Нестационарными являются все периодические процессы. Кроме того, нестационарно может работать и аппарат непрерывного действия. Это происходит во время переходных процессов, заключающихся в переходе от одного стационарного режима к другому. Переходные процессы возникают при пуске, остановке, переналадке режима, а также вследствие случайных возмущений – колебаний процесса под воздействием неконтролируемых факторов. Нестационарный процесс может протекать как в замкнутой системе, не обменивающейся веществом с окружающей средой (например, в автоклаве), так и в открытой системе (периодическая ректификация, переходный процесс в аппарате непрерывного действия и т. д.). В некоторых случаях один и тот же процесс можно описать и как стационарный, и как нестационарный – в зависимости от системы переменных, в которой проводится описание. Так, процесс в потоке может рассматриваться как стационарный при описании его в координатах, неподвижных относительно аппарата: в данной точке аппарата концентрации и температура не меняются во времени. Но если тот же процесс описать в координатах, движущихся с потоком, описание окажется нестационарным: по мере движения в потоке концентрации меняются вследствие протекания реакции.

Объекты с сосредоточенными и распределенными параметрами. Эти понятия являются пространственными аналогами стационарности и нестационарности. Если объект таков, что можно пренебречь различием параметров процесса в разных точках и считать, что все они (концентрации, температура и др.) полностью выровнены по объему, то это объект с сосредоточенными параметрами. В описании такого объекта отсутствуют производные по координатам (все они равны нулю), что сильно упрощает модель. В некотором смысле объект с сосредоточенными параметрами можно рассматривать как точку, в которой происходит процесс, поскольку во всех других точках все происходит точно так же. Описание в этом случае будет наиболее простым. Если параметры процесса существенно меняются от точки к точке, то это объект с распределенными параметрами. В его описании возникают производные, по крайней мере, по одной координате, а возможно, и по всем трем. Поэтому описание и анализ здесь сложнее, чем в случае сосредоточенных параметров.

Конечные и дифференциальные уравнения. Математическая модель может содержать как конечные уравнения, не содержащие операторов дифференцирования, так и дифференциальные уравнения. Конечные уравнения возникают, например, при описании стационарных процессов в объектах с сосредоточенными параметрами. Они могут быть алгебраическими либо трансцендентными. В последние входят трансцендентные функции от неизвестных. Так, трансцендентны уравнения, содержащие аррениусовы члены (учитывающие влияние температуры на скорости реакций). Обыкновенные дифференциальные уравнения содержат функции лишь одной независимой переменной. Линейные уравнения (и их системы) могут быть решены аналитически. Нелинейные уравнения чаще всего целесообразно решать на компьютере. Дифференциальные уравнения в частных производных появляются в задачах, где имеется более одной независимой переменной. Решение их чаще всего представляет собой сложную математическую задачу и обычно требует применения компьютера. Задачи Коши и краевые задачи. При численном решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений встречаются два основных случая, связанные с характером задания начальных условий. Первый – все начальные условия заданы при одном и том же значении независимой переменной. Это задача Коши. Например, протекание сложной реакции, в которой участвуют в качестве реагентов и продуктов n веществ, описано п дифференциальными уравнениями; начальные условия заданы в виде п начальных концентраций веществ в момент времени t= 0. Численное решение задач Коши сводится к той или иной расчетной схеме, в которой осуществляется расчет зависимых переменных при движении от начального до конечного значения независимой переменной. Значительно сложнее расчет в том случае, когда начальные (точнее, краевые) условия заданы при различных значениях независимой переменной. Здесь мы имеем дело с краевой задачей. Краевые задачи часто возникают, например, при описании процессов с противотоком фаз. Процедуры решения для краевых задач, как правило, значительно сложнее, чем для задач Коши. Теперь рассмотрим некоторые задачи, которые различаются тем, относительно каких величин, входящих в математическую модель, следует разрешать уравнения.

Прямые и обратные задачи. Обратимся к уравнению (1.10). Более подробно это уравнение (общий вид уравнения математической модели) может быть представлен как

yi = Fi (X,B), (1.20)

где B = (b0 , b1 ,…., bp ) – вектор параметров. Запись (1.20) отражает тот факт, что в модель обязательно входят параметры. Возможны два основных класса задач, связанных с уравнениями вида (1.20). Задача первого класса. Нам заданы X, В. В этих условиях следует определить yi . Это прямая задача. В такой формулировке она сводится к расчету функции, заданной в явной форме. Если рассмотреть переменные Х, то решение данной задачи дает изменение величины y, или распределение y в пространстве факторов. Задача второго класса. Нам задано распределение (как правило, в виде совокупности экспериментальных данных) y в пространстве факторов X и известен общий вид функции (1.20). Требуется определить параметры b0 , ..., bр . Это обратная задача.

Поверка. Проектные и поверочные расчеты. Проектным расчетом называют такой, цель которого состоит в определении требуемых размеров аппарата, при которых могут быть достигнуты заданные показатели. Поверочным расчетом называют такой, в котором мы задаемся размерами аппарата и находим, какие показатели могут быть при этом достигнуты. (то, что имеем) !!! Во многих случаях целесообразно свести проектный расчет к совокупности поверочных: задаться рядом типоразмеров аппаратов, для каждого из них рассчитать достижимые показатели, после чего выбрать наилучший размер.