Алгоритм Евклида

Чтобы найти наибольший общий делитель чисел а и в, нужно большее число разделить на меньшее; меньшее число разделить на полученный первый остаток; полученный первый остаток разделить на полученный второй остаток и т. д. до тех пор пока не получим деления без остатка; последний делитель, при котором получили деление без остатка есть наибольший общий делитель чисел а и в.

В общем случае процесс нахождения наибольшего общего делителя примет вид:

1. Если а = вq + r НОД (а, в) = НОД (в, r).

2. Если в r НОД (в, r) = r НОД (а, в) = r.

3. Если в = rq₁ + r₁ НОД (r, r₁) = НОД (в, r) = НОД (а, в).

Применяя описанный процесс получим все меньшие и меньшие остатки. В конце концов получим остаток, на который будет делиться на полученный остаток. Этот наименьший, отличный от нуля, остаток и будет наименьшим общим делителем чисел а и в.

Найдем НОД (3075, 60), используя алгоритм Евклида.

3075 60

300 51

75

60

60 15 НОД (3075, 60)

60 4

0

Итак, чтобы найти НОД двух чисел нужно большее число разделить на меньше; меньшее число разделить на полученный первый остаток; полученный первый остаток разделить на полученный второй остаток и т. д. до тех пор, пока не получится деления без остатка. Последний делитель, при котором получилось деление без остатка и есть наибольший общий делитель данных чисел.

Общие кратные. Наименьшее общее кратное (нок) чисел а и в.

Пусть А = {1, 2, 3, 4, 8, 12, 24} – множество делителей числа 24.

В = {1, 2,3, 4, 5, 6, 12, 15,б 20, 30,б 60} – множество делителей числа 60.

Очевидно, что всякое натуральное число имеет непустое множество делителей.

Делители числа будем изображать Д_х.

Д_х. = {у | у N₀ х у}. В нашем случае Д₂₄ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, то есть

Д₂₄ = { у | у N 24 у }. Очевидно:

1.( х N)[1 Д_х], то есть 1 является делителем любого натурального числа.

2. .( х N)[х Д_х], то есть всякое число является делителем самого себя. Отсюда следует, что х является наибольшим из собственных делителей. Таким образом, множество делителей любого натурального числа является ограниченным подмножеством множества N и, следовательно, – конечным.

3. Наибольший общий делитель чисел а и в не превосходит меньшего из данных чисел, то есть если а < в НОД (а, в) а.

4. Наибольший общий делитель чисел а и в делится на любой общий делитель этих чисел.

Теорема. Любые натуральные числа а и в имеют и при том единственный наибольший общий делитель, то есть ( а, в N₀, в 0)[ ! НОД (а, в)].

Доказательство. Число 1 является общим делителем любых двух чисел. Это значит, что множество Д _{(а, в)} – общих делителей чисел а и в не пусто. Из определения общего делителя чисел а и в следует, что ОД (а, в) является пересечением Д _а и Д _в – делителей чисел а и в, и что множество этих делителей конечно. Известно, что конечное подмножество множества N₀ имеет и при том единственный наибольший элемент. Очевидно, что это НОД (а, в).