Взаимно простые числа

Определение. Натуральные числа а и в называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Например, НОД (15, 7) = 1 числа 15 и 7 взаимно простые.

Свойства простых и взаимно простых чисел

1. Если натуральное число больше 1, то оно имеет хотя бы один простой делитель.

2. Наименьший простой делитель р составного числа а не превосходит .

Доказательство. а р (по условию) а = рq, если q – простое, то р q (по условию). Умножим обе части неравенства на р, получим: р² qр, но qр = а р² а р . Это значит, что если число а не делится ни на одно простое число не превосходящего , то у него нет простых множителей, меньших этого числа, то есть это число простое.

Например, чтобы установить число 137 простое или составное, нужно найти .

11 < < 12. если число 137 не делится на простые числа, меньшие 12, то число 137 – простое. Множество простых чисел , меньших 12 есть числа 2, 3, 5, 7, 11. Число 137 не делится ни на одно из простых чисел, меньших 12. Следовательно, число 137 – простое.

3. Если простое число р делится на некоторое натуральное число n, отличное от 1, то оно совпадает с n.

Дано: n, p N, p – простое, р n, n 1. Доказать: р = n.

Доказательство. Если бы р n, то число р имело бы три делителя: 1 (так как всякое число делится на 1), число n (по условию р n) и р (по свойству симметричности отношения делимости р р) и, следовательно, не было бы простым, что противоречит условию. Таким образом, р = n.

4. Если произведение простых чисел делится на простое число, то, по крайней мере, один из сомножителей равен делителю.

Дано: а, в N а – простое, в – простое, р – простое (ав) р. Доказать: а = р в = р.

Доказательство. Если (ав) р а р в р.

Пусть а р, то в частном будет более двух различных делителей.

Следовательно, а : р = 1 а = р. Аналогично, в : р = 1 в = р.

5. Если произведение чисел ав делится на с и числа а и с взаимно простые, то в делится на с.

Дано: а, в N ав с, НОД (а, в) = 1. Доказать, что в с.

Доказательство. По признаку делимости произведения ав а ав с (по условию) ав = ОК(а, с) делится на НОК (а, с), равное ас.

Имеем, ав ас ав = асq (по сократимости умножения) в = сq в с.

Признак делимости на составное число вытекает из следующего свойства: Если натуральное число а делится на каждое из взаимно простых чисел в и с, то оно делится на их произведение вс.

Дано: а N, d (в, с) = 1, а в, а с. Доказать, что а (вс).

Доказательство. Из того, что а в а с а = К(в, с), поэтому а делится на К(в, с). Но числа в и с взаимно простые К(в, с) = вс (так как НОК двух взаимно простых чисел равен произведению этих чисел. Итак, а вс.

Признак делимости на составное число

Для того, чтобы натуральное число х делилось на составное число n = вс, где (вс) = 1, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на в и на с.

Действительно, если х n = (вс), то х в х с, так как в и с делители числа (вс).

Обратно, пусть х в х с. Так как (вс) = 1, то по доказанному выше число х (вс).

Признак делимости на 6

Для того, чтобы натуральное число х делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Признак делимости на 12

Для того, чтобы натуральное число х делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

Признак делимости на 15

Для того, чтобы число х делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

Основная теорема арифметики

Условимся считать два разложения на простые множители одинаковыми, если они отличаются друг от друга только порядком следования множителей.

Теорема. Всякое составное число единственным образом представляется в виде произведения простых сомножителей.

Теорема содержит два утверждения:

1. Разложение на простые множители существует.

2. такое разложение единственно.

Существование. Пусть дано составное число с. Следовательно, у него найдется по крайней мере один простой делитель. Пусть таким делителем будет число р₁ с : р₁ с = р₁с₁, где с₁ – частное.

Если с₁ – простое, то теорема доказана, с > с₁.

Если с₁ – составное, то оно имеет так же хотя бы один простой делитель.

Пусть таким делителем будет число р₂, то есть с₁ : р₂ с₁ = р₂с₂ с > c₁ > c₂/

Если с₂ – простое, то теорема доказана и с = р₁ р₂ с₂.

Если с₂ составное, то оно так же имеет хотя бы один простой делитель.

Такой процесс деления не может продолжаться бесконечно, так как чисел, меньших с – конечное множество, следовательно, в конце концов последний множитель окажется простым числом.

Таким образом, будет получено разложение числа с на простые множители, то есть с = р₁ р₂ …р_n.

Единственность данного разложения проведем методом от противного.

Пусть с = р₁ р₂ …р_n с = q₁ q₂ …q_m, где все p_i и q_s – простые множители и n m.

По свойству транзитивности отношения «равно» имеем: р₁ р₂ …р_n = q₁ q₂ …q_m (1)

Левая часть равенства (1) делится на р₁ и, следовательно, правая часть так же делится на р₁. По свойству 5 (произведение простых делится на простое, когда один из сомножителей равен делителю). Пусть р₁ = q₁. сократив равенство (1) на p_i = q_s, получим: р₁ р₂ …р_n–1 = q₁ q₂ …q_m–1. Повторив рассуждения еще раз, получим: р₁ р₂ …р_n–2 = q₁ q₂ …q_m–2.

Если n < m, то после n таких рассуждений придем к равенству: 1 = q₁ q₂ …q_m–n, из которого очевидно, что произведение простых множителей равно 1 тогда, когда каждый из множителей произведения равен 1.

Остается, что n = m. Таким образом, количество сомножителей в данных разложениях совпадает, и все сомножители из разных разложений попарно равны. Что и требовалось доказать.

Определение. Если разложение натурального числа а = , где р₁ <_… < p_n – степени соответствующих чисел, то данное разложение называется каноническим разложением натурального числа а.

Например, 840 = 42  20 = 2³  3  5  7 840 = 2³  3  5  7 является каноническим разложением числа 840.