Розділ 3. Застосування системи Mathcad

3.1 Опис системи MathСad

Mathcad – це популярна система комп'ютерної математики, призначена для автоматизації вирішення масових математичних задач в самих різних областях науки, техніки та освіти. Назва системи походить від двох слів - MATHematica (математика) і CAD (Computer Aided Design - системи автоматичного проектування, або САПР). Так що цілком правомірно вважати Mathcad математичними САПР.

Сьогодні різні версії Mathcad є математично орієнтованими універсальними системами. Крім власне обчислень, як чисельних, так і аналітичних, вони дозволяють з блиском вирішувати складні оформлювальні завдання, які насилу даються популярним текстовим редакторам або електронних таблиць. За допомогою Mathcad можна, наприклад, готувати статті, книги, дисертації, наукові звіти, дипломні та курсові проекти не тільки з якісними текстами, але і з легко здійснюваним набором самих складних математичних формул, вишуканим графічним поданням результатів обчислень і численними «живими» прикладами. А застосування бібліотек і пакетів розширення забезпечує професійну орієнтацію Mathcad на будь-яку галузь науки, техніки та освіти.

2. Практичні завдання

1. Числові обчислення

Завдання 1.1. Обчислити значення виразів:

А) ;

Б) .

Необхідні оператори для вирішення даного завдання: корінь та число π знаходяться у вкладці «Математика», пункт «Операторы» та «Константы».

Оператор ділення можна отримати натисканням клавіші «/».

Щоб розрахувати вираз потрібно натиснути клавішу «=» (рис.3.1).

Рисунок 3.1– Результат обчислення завдання №1

Завдання 1.2 Знайти суму перших 10-ти членів послідовності: .

Для виконання цього завдання потрібно використати степінь («Shift + 6»), оператор суми («Shift + Ctrl + ;») та оператор ділення (клавіша «/»).

Також необхідні оператори можна знайти у вкладці «Математика», пункт «Операторы».

Щоб розрахувати вираз потрібно натиснути клавішу «=» (рис. 3.2).

Рисунок 3.2 – Результат обчислення завдання №2

Завдання 1.3. Функцію задано формулою

А) Знайти f(1); f(8); f(-5).

Б) Побудувати графік функції f(x).

Для виконання цього завдання потрібно використати степінь («Shift + 6»), модуль («Shift + \») та оператор присвоєння («Shift + ;»). Також необхідні оператори можна знайти у вкладці «Математика», пункт «Операторы», окрім модуля.

Щоб розрахувати значення функції з необхідними параметрами потрібно ввести назву функції, в дужках записати параметри та натиснути клавішу «=».

Щоб побудувати графік цієї функції потрібно у вкладці «Графики» вибрати пункт «Вставить график», в ньому обрати підпункт «График ХY». В полі зліва ввести назву функції, а в нижньому полі значення змінної, відносно якої будується графік (рис.3.3)

Рисунок 3.3 – Результат обчислення значення функції та загальний графік функції завдання №3

Завдання 1.4. Знайти точки екстремуму функції .

Для виконання цього завдання потрібно використати степінь («Shift + 6»), оператор ділення (клавіша «/») та оператор присвоєння («Shift + ;»).

Щоб розрахувати значення функції з необхідними параметрами потрібно ввести назву функції, в дужках записати параметри та натиснути клавішу «=».

Щоб побудувати графік цієї функції потрібно у вкладці «Графики» вибрати пункт «Вставить график», в ньому обрати підпункт «График ХY». В полі зліва ввести назву функції, а в нижньому полі значення змінної, відносно якої будується графік.

Значення точок екстремуму знаходяться за допомгою функцій minimize(назва функції, змінна) та maximize(назва функції, змінна) (рис. 3.4).

Рисунок 3.4 – функція завдання № 4, її графік та знаходження точок екстремуму

Завдання 1.5. Розв’язати рівняння: (за допомогою функції root); (за допомогою функції polyroots).

Для виконання цього завдання потрібно використати степінь («Shift + 6»), оператор ділення (клавіша «/») та функції coeffs, за допомогою якої знайдемо вектор координат функції.

Спочатку потрібно побудувати графік, щоб дізнатися у скількох місцях функція перетинається з віссю Ох.

Щоб побудувати графік цієї функції потрібно у вкладці «Графики» вибрати пункт «Вставить график», в ньому обрати підпункт «График ХY». В полі зліва ввести назву функції, а в нижньому полі значення змінної, відносно якої будується графік.

Для знаходження коренів потрібно використати функцію root(назва функції, змінна)(рис. 3.5).

Рисунок 3.5– графік функції для знаходження точок перетину та знаходження коренів рівняння за допомогою функції root

Функція polyroots(v), в якості аргументів цієї функції виступає вектор коефіцієньів полінома – v(рис. 3.6).

Рисунок 3.6 – Знаходження коренів рівнняня за допомогою функції polyroots

Завадння 1.6. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса: будуємо матрицю коефіцієнтів і вектор правих частин. Застосовуємо функцію злиття матриць augment. До отриманої матриці застосовуємо функцію rref.

Для виконання цього завдання потрібно використати оператор «=»

(«Ctrl + = ») та оператор присвоєння («Ctrl + ;»)(рис.3.7).

Рисунок 3.7 – розв’язання системи лінійних рівнянь методом Гауса

Завдання 1.7. Розв’язати систему нерівностей

При виконанні цього завдання використовуються такі оператори: степінь («Shift + 6»), аналітичне перетворення («Ctrl + ю»).

Система нерівностей задається як вектор з одним стовпцем та кількістю рядків, яка дорівнює кількості рівнянь. Для того, щоб вставити вектор потрібно перейти на вкладку «Матрицы/таблицы» та натиснути на пункт «Вставить матрицу» й вибрати розмірність матриці.

Для знаходження розв’язку потрібно використати функцію solve (використовується для знаходження декількох коренів рівняння) та ввести змінну по які шукаєм розв’язок. Дану функцію можна викликати з вкладки «Математика», пункту «Символьные операции» або ввести з клавіатури (рис. 3.8).

Рисунок 3.8 – Результат виконання завдання №7

Як замітно на графіку розв’язку немає для даних нерівностей.

Завдання 1.8. Обчислити значення визначених інтегралів

Для розвязання даного завдання було використано оператори: інтеграл («Ctrl + Shift + ш»), аналітичне перетворення («Ctrl + ю») та квадратний корінь («\»). Також оператори інтеграл та корінь можна знайти, перейшовши до вкладки «Математика», пункт «Операторы». Оператор знаходиться в тій же вкладці, пункт «Символьные операции» (рис. 3.9).

Рисунок 3.9 – Результат обчислення інтегралів завдання №8

Завдання 1.9. Задано матриці А= , В= і вектор С= , де N – номер варіанту.

Необхідно виконати наступні дії:

• знайти добуток матриць А і В,

• знайти суму матриць А і В,

• знайти матрицю транспоновану до матриці А,

• знайти визначник матриці В,

• знайти обернену матрицю до матриці А*В,

• обчислити суму елементів вектора С,

• обчислити добуток матриці на вектор А*С,

• обчислити .

Для того, щоб вставити матрицю потрібно перейти до вкладки «Матрицы/таблицы» та натиснути на пункт «Вставить матрицу» й вибрати розмірність матриці, в даному випадку – 3х3. (рис. 3.10).

Рисунок 3.10– Матриці заповнені відповідно до умови завдання

При виконанні цього завдання використовуються такі оператори: степінь («Shift + 6»), присвоєння («Shift + ;»), норма («Ctrl + Shift + /»), транспоновка («Ctrl + Shift + E») та алгебраїчна сума («Ctrl + Shift + ;»). Також дані оператори можна знайти, перейшовши до вкладки «Математика», пункт «Операторы», окрім оператору «транспоновка».Оператор транспоновка знаходитья у вкладці «Матрицы/таблицы», пункт «Операторы с векторами/матрицами».

Рисунок 3.11 – Добуток матриць А та В

Рисунок 3.12 – Сума матриць А та В

Рисунок 3.13 – Матриця транспонована до матриці А

Рисунок 3.14 – Визначник матриці В

Рисунок 3.15 – Обернена матриця до матриці А*В

Рисунок 3.16 – Сума елементів вектора С

Рисунок 3.17– Добуток матриці А на вектор С

Рисунок 3.18 – Обчислення

2. Побудова графіків

Завдання 2.1. Знайти значення функції , якщо , де і = 0..30.

• побудувати графік функції,

• поміняти діапазон вісі Х

При виконанні цього завдання використовуються такі оператори: степінь

(«Shift + 6»), присвоєння («Shift + ;»), ділення («/») та індекс («х»). Також дані оператори можна знайти, перейшовши до вкладки «Математика», пункт «Операторы», окрім оператору індексу. Значення функції виводяться у вектор.

Щоб побудувати графік цієї функції потрібно у вкладці «Графики» вибрати пункт «Вставить график», в ньому обрати підпункт «График ХY». В полі зліва ввести назву функції, а в нижньому полі значення змінної, відносно якої будується графік. Для того, щоб змінити діапозон вісі потрібно натиснути ЛКМ на останнє значення на цій вісі і ввести інше. (рис. 3.19).

Рисунок 3.28– Графік функції та обчислення значень функції

Завдання 2.2. Побудувати в одній системі координат графіки функцій:

• ,

• ,

• 

Відформатувати графіки функцій:

• Задайте інші кольори і товщину ліній.

• Додайте заголовок.

• Поміняйте стилі ліній кожного ряду.

При виконанні цього завдання використовуються такі оператори: степінь(«Shift + 6»), присвоєння («Shift + ;»). Також дані оператори можна знайти, перейшовши до вкладки «Математика», пункт «Операторы», окрім оператору індексу.

Для того, щоб вставити графіки функцій потрібно у вкладці «Графики» вибрати пункт «Вставить график», в ньому обрати підпункт «График ХY». В цій вкладці натиснути пункт «Вставить кривую», щоб відобразити графіки декількох функцій. В вікні «Стили» можна змінити стиль ліній, товщину та їхній колір, для цього потрібно натиснути на відповідні пункти вікна. В полях зліва вводяться назви функцій, а в нижньому полі значення змінних, відносно яких будуються графіки.

Для того, щоб змінити діапозон вісі потрібно натиснути ЛКМ на останнє значення на цій вісі і ввести інше. (рис. 3.20).

Рисунок 3.20 – Графіки функцій

Завдання 3.Побудуйте трьохмірний графік . Відформатувати графік.

При виконанні цього завдання використовуються такі оператори: степінь

(«Shift + 6»), присвоєння («Shift + ;»).

Для того, щоб вставити трьохвимірний графік функції потрібно у вкладці «Графики» вибрати пункт «Вставить график», в ньому обрати підпункт «3D - график». Форматування графіка відбувається у вікні «Стили», тут можна змінити заливку поверхні графіка, стиль, товщину та колір ліній, для цього потрібно натиснути на відповідні пункти вікна. В лівому нижньому кутку вводиться назва функції, графік якої потрібно побудувати (рис 3.21).

Рисунок 3.21 – Трьохвимірний графік функції

3. Програмування в системі MathCad

Завдання 3.1.Знайти суму 10 перших членів арифметичної прогресії (а_п): -17; -1;…

Для виконання даного завдання було використано такі оператори: присвоєння («Shift + ;»), локальне призначення та цикл for(«Ctrl + Shift + Є») (рис. 3.22).

Локальне призначення та for знаходяться у вкладці «Математика», пункт «Программирование».

Сумі задаємо початку значення -17, а z – -17 (цикл пропускає перший елемент і його потрібно задати вручну).

Рисунок 3.22– Результат обчислення суми

Завдання 3.2. Створити програмний модуль, який обчислює значення функції на проміжку [0; 4], де

Для розв’язання даного завдання використовуються такі оператори: логічний оператор if («}»), квадратний корінь («\»), степінь(«Shift + 6»), присвоєння(«Shift + ;») та логічні оператори порівнювання (рис. 3.23)

Всі оператори знаходяться у вкладці «Математика», пункт «Оператори», окрім if. Оператор if знаходиться в тій же вкладці, пункту «Программирование».

Для перевірки необхідно ввести значення х. Далі перевіряється істиність умови, якщо вона хибна – переходимо до наступної. Якщо ж жодна з умов не виконується – «Рішення немає».

Рисунок 3.23 – Результат оператору if

3. Символьні обчислення

Завадння 3.1. Розкласти вираз:

Для виконання даного завдання використовується оператор аналітичного перетворення («Ctrl + ю») та функція expand.

Аналітично перетворення та функцію factor, за допомогою якої можна розкласти вираз на множники, її можна знайти у вкладці «Математика», пункт «Символьные операции».

Тригонометричні функції вводимо з клавіатури (рис. 3.35)

Рисунок 3.35 – Результат розкладання виразу

Завдання 3.2. Спростити вираз:

Для того, щоб виконати дане завдання потрібно використати функцію

simplify, яка виконує спрощення виразу з скороченням подібних доданків, зведенням до спільного знаменника і т.д та оператори: ділення («/») і аналітичне перетворення («Ctrl + ю») (рис. 3.24)

Ділення знаходиться у вкладці «Математика», пункт «Операторы». Функцію simplify і аналітичне перетворення можна знайти в тій же вкладці, пункт «Символьные операции».

Рисунок 3.24 – Результат спрощення виразу

Завдання 3.3 Розкласти вирази на множники:

Для виконання даного завдання потрібно використати функцію factor, оператор аналітичного перетвроення («Ctrl + ю») і степінь («Shift + 6») (рис 3.25).

Функція factor та аналітичне перетворення знаходяться у вкладці «Математика», пункт «Символьные операции».

Рисунок 3.25 – Результат розкладання виразів на множники

Завдання 3.4. Звести подібні доданки:

Для того, щоб виконати дане завдання необхідно використати функцію

collect, <змінна> та оператор степені («Shift + 6») (рис. 3.26).

Функція collect знаходиться у вкладці «Математика», пункт «Символьные

операции».

Рисунок 3.26 – Результат зведення подібних доданків

Завдання 3.5. Знайти значення невизначених інтегралів: ,

Для виконання даного завдання потрібно використати такі оператор: інтеграл («Ctrl + Shift + Ш»), корінь («{»), ділення («/») та аналітичне перетворення (рис. 3.27 та рис. 3.28)

Всі оператори знаходяться у вкладці «Математика, пункт «Операторы», окрім аналітичного перетворення. Оператор аналітичного перетворення знаходиться в пункті «Символьные операторы».

Рисунок 3.27 – Розв’язання першого інтеграла

Рисунок 3.28 – Розв’язання другого інтеграла

Завдання 3.6. Знайти значення границь: ,

Для виконання даного завдання потрібно використати оператори: степінь («Shift + 6»), ділення («/»), границя («Ctrl + Д ) (рис. 3.29 та рис. 3.30)

Дані оператори знаходяться на вкладці «Математика», пункт «Операторы».

Рисукно 3.29 – Результат рішення першої границі

Рисунок 3.30 – Результат рішення другої границі

Завдання 3.7. Знайти похідну першого і другого порядку від функції

Для знаходження розв’язку даного завдання потрібно використати такі оператори: похідна («Ctrl + Shift + В»), присвоєння («Shift + ;») степінь («Shift + 6») та корінь («{») .

Рисунок 3.31 – Знаходимо похідну першого порядку

Рисунок 3.32 – Знаходим похідну другого порядку