Лекция 5 Основные понятия сопротивления материалов

Вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Сопротивление материалов. Физико-механические свойства материалов. Внешние и внутренние силовые факторы. Деформации.

2. Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии

3. Понятие о сложном деформированном состоянии

4. Кручение. Напряжения и деформации при кручении

5. Напряжения и деформации при растяжении-сжатии

6. Закон Гука.

7. Закон Пуассона.

8. Изгиб прямого бруса

Сопротивление материалов

«Сопротивление материалов» - это раздел «Технической механики», в котором излагаются теоретико-экспериментальные основы и методы расчетов наиболее распространенных элементов конструкции на прочность, жёсткость и устойчивость.

Деформацией называют изменение размеров тела под действием внешних сил. Если тело изменяет линейный размер без изменения поперечного сечения, то говорят о продольной деформации. Если под действием сил меняется площадь поперечного сечения (изменяются размеры тела в поперечном сечении), то деформация – поперечная. При изменении прямолинейности оси тела возникает деформация изгиба. Если продольные образующие тела под действием внешних нагрузок получают какой-то угол скручивания относительно исходного состояния, то возникает деформация кручения (рис. 1). Различают абсолютную δ и относительную ε = δ / L деформации, где L – размер тела до деформации.

Отношение величины действующей на тело в данном сечении силы F к его площади Р называется напряжением: σ = F / Р . Различают нормальные (действуют перпендикулярно сечению) и касательные (действуют в плоскости сечения) напряжения. Величины деформаций и действующих сил связаны между собой законом Гука: Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.

Для любых малых объемов тела при растяжении и сжатии закон Гука имеет вид: σ = Еε. Здесь Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга), зависящий от физико-механических свойств материала.

F F L δ	F δ
a	б
F F γ φ	F y
в	г

Рис. 1 Деформации прямого бруса: продольная (а), поперечная (б), кручения (в), изгиба (г)

В сопротивлении материалов для упрощения расчетов применяют модель идеализированного деформируемого тела, которая основывается на следующих гипотезах и допущениях

1. Гипотеза сплошности и однородности — материал представляет собой однородную сплошную среду; свойства материала во всех точках тела одинаковы и не зависят от размеров тела.

2. Гипотеза об изотропности материала — физико-механические свойства материала одинаковы по всем направлениям.

3. Гипотеза об идеальной упругости материала — тело способно восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после устранения причин, вызвавших его деформацию.

4. Гипотеза (допущение) о малости деформаций — деформации в точках тела считаются настолько малыми, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу.

5. Допущение о справедливости закона Гука — перемещения точек конструкции в упругой стадии работы материала прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения.

6. Принцип независимости действия сил — принцип суперпозиции; результат воздействия нескольких внешних факторов равен сумме результатов воздействия каждого из них, прикладываемого в отдельности, и не зависит от последовательности их приложения.

7. Гипотеза Бернулли о плоских сечениях — поперечные сечения, плоские и нормальные к оси стержня до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси после деформации.

8. Принцип Сен-Венана — в сечениях, достаточно удалённых от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от конкретного способа нагружения и определяется только статическим эквивалентом нагрузки.

Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии

Равновесие считают устойчивым, если за счет сил упругости после снятия внешней отклоняющей силы стержень восстановит первоначальную форму.

Если упругое тело после отклонения от равновесного положения не возвращается к исходному состоянию, то говорят, что произошла потеря устойчивости, а равновесие было неустойчивым. Потерю устойчивости под действием центрально приложенной продольной сжимающей силы называют продольным изгибом. На устойчивость равновесия влияет величина сжимающей силы. Наибольшее значение сжимающей силы, при котором прямолинейная форма стержня сохраняет устойчивость, называют критической силой. Даже при небольшом превышении критического значения силы стержень недопустимо деформируется и разрушается. Расчет на устойчивость заключается в определении допускаемой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей:

[S_Y] = [F] / F

где F - действующая сжимающая сила; [F] - допускаемая сжимающая сила, обеспечивает некоторый запас устойчивости.

Обычно для сталей [S_Y]=1,8-3, для чугуна [S_Y]=5, для дерева [S_Y]=2,8.

Понятие о сложном деформированном состоянии

Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям и в различных плоскостях, проходя через точку, определяют деформированное состояние в этой точке. Сложное деформированное состояние возникает, если деталь одновременно подвергается нескольким простейшим нагружениям. В ряде случаев нормальные и касательные напряжения, возникающие в детали, имеют одинаковый порядок и ими нельзя пренебрегать. Тогда расчет универсального критерия, позволяющего рассчитать предельное состояние для любого материала, нет. Разработано несколько различных гипотез предельных состояний, при расчетах используют наиболее подходящую гипотезу. Расчёты по гипотезам прочности позволяют избегать дорогостоящих испытаний конструкции. В настоящее время для расчета валов при совместном действии изгиба и кручения используют только третью и пятую теории прочности. Сравнение разнотипных состояний производится с помощью эквивалентного (простого) напряженного состояния. Обычно сложное напряженное состояние заменяют простым растяжением (рис. 1). В ряде случаев нормальные и касательные напряжения, возникающие в детали, имеют одинаковый порядок и ими нельзя пренебрегать. Тогда расчет проводят при сложном деформированном состоянии. Расчетное напряжение, соответствующее выбранному одноосному растяжению, называют эквивалентным напряжением.

σ₂

σ₁ σ₁ σ_экв σ_экв σ_пред σ_пред

σ₃ σ₂

Рис. 2 Замена сложного напряженного состояния простым растяжением

Условие прочности получим, сопоставив эквивалентное напряжение с предельным, полученным экспериментально для выбранного материала:

σ_экв < σ_пред / [S]

где S – запас прочности.

Кручение. Напряжение и деформации при кручении

При кручении возникает напряжённое состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 2).

τ 2

1 2 τ 1

τ τ τ τ

3 γ

4 3 ρ 4

τ τ

а б в

Рис. 3 Схема, поясняющая возникновение «чистого сдвига» при кручении

При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 2 б), элемент деформируется (рис. 2 в). Касательное напряжение пропорционально углу сдвига. Материал подчиняется закону Гука при кручении:

τ = G γ

где G – модуль упругости при сдвиге, γ – угол сдвига.