
- •По математической логике и теории алгоритмов
- •1. Определение формальной аксиоматической теории (фат). Секвенции (выводы). Формулы. Построение формул. 5 свойств выводов
- •2. Исчисление высказываний. Построение ив как фат. Алфавит, формулы, аксиомы, выводы и правила вывода
- •3. Доказать, исходя из аксиом ив и правила вывода секвенцию — первое свойство выводов ив
- •4. Доказать, исходя из свойств выводов, аксиом ив и правила вывода ив следующие свойства выводов ив
- •Если , то .
- •Если и , то .
- •Если и — любая формула ив, то .
- •5. Теорема дедукции
- •6. Свойство транзитивности импликации. Доказать секвенцию: ,
- •7. Противоречивые формулы
- •Если , то .
- •8. Обоснование доказательства от противного: доказать, что если , то
- •9. Тождественность формул ив. Доказать тождество:
- •10. Аксиоматическое введение в ив и
- •11. Теорема о том, что всякая выводимая в ив формула есть тавтология
- •12. Доказательство леммы
- •13. Теорема о том, что любая тавтология выводима в ив
- •14. Полнота и непротиворечивость ив
- •15. Предикаты. Кванторы. Свойства кванторов
- •Перенос квантора через отрицание.
- •Вынос квантора за скобки.
- •Перестановка одноименных кванторов.
- •Переименование связанной переменной.
- •17. Выполнимость и общезначимость формул ип. Общезначимость формул , .
- •18. Аксиомы ип. Общезначимость аксиом ип. Правила вывода ип. Оформление ип как фат
- •19. Теорема об общезначимости формул ип, получающихся из общезначимых по любому из 4-х правил вывода ип
- •20. Полнота и непротиворечивость ип. Теорема Гёделя. Тезис Чёрча
- •21. Алгоритмы. Определение (интуитивное) алгоритма. Свойства алгоритмов. Направления поисков точного определения алгоритма. Вычислимые функции. Проблема алгоритмической неразрешимости
- •22. Рекурсивные функции. 3 простейших прф (примитивно-рекурсивных функций). Оператор суперпозиции. Примеры
- •23. Оператор пр (примитивной рекурсии). Доказать, что функции , , , , — прф
- •24. Оператор минимизации. Частично-рекурсивные функции. Доказать, что — чрф. Точное определение алгоритма. Тезис Чёрча
- •25. Машина Тьюринга. Тьюринговая функциональная схема. Точное определение алгоритма. Тезис Тьюринга
- •26. Функции, вычислимые по Тьюрингу. Доказать, что 3 простейших прф — вычислимы по Тьюрингу
- •27. Геделева нумерация мт. Примеры: по номеру найти мт и по мт записать номер
- •28. Самоприменимость мт. Теорема об алгоритмической неразрешимости проблемы самоприменимости
- •29. Нормальные алгоритмы Маркова. Точное определение алгоритма. Примеры
- •Литература
13. Теорема о том, что любая тавтология выводима в ив
Тавтология — тождественно истинное высказывание.
Теорема.
Если формула
тождественно истинна / является
тавтологией, то она выводима.
Доказательство.
[Для доказательства этой теоремы нужна лемма 12-го вопроса!]
Будем
использовать лемму и
.
По
свойству ИВ №2 («если
,
то
»)
— переносим два раза влево:
По
уже доказанному в 9-ом вопросе утверждению
(«»):
По
уже доказанному в 9-ом вопросе утверждению
(«»):
Далее по аксиоме А3:
По
свойству ИВ №2 («если
,
то
»)
— переносим два раза влево:
По свойству №3 («лишняя формула не
мешает») — добавляем
:
По свойству №4 («удаление выводимой
формулы») — так как
и
,
то удаляем
:
По
теореме дедукции («если
,
то
»)
— переносим два раза вправо:
Следствие.
Если
и
,
то
.
Применяя теорему о дедукции к условиям, получим:
и
.
к (1) и (2):
.
к (3) и (4):
.
Теперь перейдём к основному доказательству.
Пусть
тождественно истинная формула и
— список её переменных. Тогда при любом
наборе
значение формулы
на этом наборе
(по условию формула
тождественно истинна). Таким образом,
по лемме имеем:
(1)
Так
как в любом случае
будет равно 1, то из (1) будем иметь две
секвенции (для
и
):
Отсюда
по доказанному ранее «если
и
,
то
»,
получим:
Далее
точно также из секвенции (2) можно убрать
.
Продолжая
этот процесс, получим
(то есть
выводится из аксиом). Теорема доказана.
14. Полнота и непротиворечивость ив
Некоторая
теория называется противоречивой, если
существует формула
в этой теории такая, что из аксиом в ней
можно вывести как
,
так и
.
В противном случае теория называется
непротиворечивой.
Теорема
(о непротиворечивости ИВ).
В теории ИВ невозможно вывести из аксиом
одновременно формулы
и
.
Доказательство.
Если
выводима (из аксиом), то она тождественно
истинна (см. 11-ый вопрос), значит
не является тождественно-истинной (
на любом наборе переменных равна 0), а
это значит (см. 13-ый вопрос), что
не выводима (из аксиом).
Замечание. Мы доказали, что теория ИВ непротиворечива. Однако это доказательство связано с тем, что формулы в ИВ (в возможной интерпретации) принимают лишь два значения 0 и 1. Сравнительно нетрудно аксиоматически ввести арифметику. Однако в ней формулы уже могут принимать счётное множество значений (то есть по крайней мере все целые числа). Гёдель показал, что невозможно доказать противоречивость или непротиворечивость арифметики. После этого про любую науку доказывают или опровергают утверждение: данная наука непротиворечива, если непротиворечива арифметика.
Теорема (о полноте ИВ). ИВ — полная теория в узком смысле слова.
ФАТ называется полной в узком смысле, если добавление любой не выводимой формулы в качестве аксиомы приводит к противоречивой теории.
Доказательство (от противного).
Пусть
— какая-нибудь невыводимая формула.
Докажем, что присоединение
к аксиомам приводит к противоречивой
теории.
В
ИВ — 3 аксиомы:
.
В новой теории высказываний — 4 аксиомы:
.
Выводимость в этой теории будем обозначать
.
Требуется доказать, что
.
Пусть
— набор переменных формулы
.
Так как
невыводима в ИВ из аксиом, значит она
не тождественно истинна (см. 11-ый вопрос),
следовательно, она принимает значение
0 на каком-то наборе значений переменных
,
то есть
.
Возьмём
какую-нибудь новую переменную
.
Введем следующие формулы:
Тогда
.
Пусть
теперь
— произвольная формула в ИВ, а
— её отрицание. Тогда по определению
импликации тождественно истинны формулы
и
.
Так как
— аксиома, то применив
правило
к (1) и (3), а также (2) и (3), получим, что
и
.
Это и значит, что теория противоречива,
и теорема доказана.