11. Теорема о том, что всякая выводимая в ив формула есть тавтология

Тавтология — тождественно истинное высказывание.

Теорема. Если формула выводима, то она тождественно истинна / является тавтологией (то есть на любом наборе переменных принимает значение, равное 1).

Доказательство.

[Для доказательства этой теоремы нужна лемма 12-го вопроса!]

Пусть формула выводима (из аксиом). Докажем, что при любых значениях переменных, входящих в неё, формула принимает значение 1. Непосредственно проверяем, что все аксиомы являются тождественно истинными формулами. Так как импликация из истины выводит только истину, то по правилу вывода () получаем, что тоже истинна. Так как других правил вывода в ИВ нет, то все выводимые (из аксиом) формулы тождественно истинны.

12. Доказательство леммы

Исчисление высказываний — чисто логический вывод одних суждений из других. Ранее такая наука называлась схоластикой. То есть из некоторых общепризнанных фактов выводились другие суждения без всяких опытов. Например, если человек идёт в кино, то у него должны быть деньги. Разумеется, этот пример является простым и его легко провести в жизни без всякой дискретной математики. Однако в других случаях формальный логический вывод без применения правил ИВ бывает очень сложным и применение этой теории становится обязательным. Поэтому, для получения логических выводов мы заменяем суждения (которые могут быть либо истинными, либо ложными) латинскими буквами и получаем первичные формулы ИВ (и тем самым отказываемся от смысла этих суждений) и тогда мы можем считать, что эти самые буквы (то есть переменные или первичные формулы) являются числами, которые могут принимать только два значения 0 и 1.

Так как в формулы ИВ кроме переменных (то есть первичных формул) входят связки (отрицание и импликация), то по правилам этих булевых функций любая формула на определенном наборе переменных также принимает значения 0 или 1. Таким образом, если — формула в ИВ, — набор её переменных и — любой набор возможных значений этих переменных (из нулей и единиц), то — значение формулы на этом наборе. Тем самым мы получаем одну из возможных интерпретаций теории ИВ, которая переводит схоластические рассуждения на язык чисел (нулей и единиц).

Пусть . Таким образом, при любом конкретном выражение является формулой в ИВ.

Пример.

Формула выводима, если она выводится из аксиом (то есть ).

Пусть длина формулы означает количество связок в ней (то есть символов и ).

Лемма. Пусть — формула в ИВ, — набор её переменных и — любой набор возможных значений этих переменных (из нулей и единиц) и — значение формулы на этом наборе. Тогда верна следующая секвенция:

Доказательство этой леммы проведём индукцией по длине формулы , которую обозначим (к). При формула не содержит символов отрицания и импликации и состоит из одной переменной . Поэтому в этом случае доказательство леммы сводится к очевидной секвенции .

Пусть и пусть формула (1) верна для всех формул, длина которых строго меньше . Докажем тогда, что лемма верна для формулы .

СЛУЧАЙ 1. Предположим, что формула совпадает с формулой (). Тогда длина равна , и для лемма верна по индукционному предположению. Кроме того, в формулы и входят одни и те же переменные. Пусть для набора значение формулы на этом наборе равно , а формулы равно (так как , то очевидно, что ).

а) Пусть , тогда . По индукционному предположению верна секвенция . Так как и , то , то есть лемма верна:

б) Пусть, тогда . По индукционному предположению верна секвенция . Так как и , то , то есть лемма верна:

СЛУЧАЙ 2. Предположим, что формула имеет вид (). Длина формул и меньше , поэтому для обеих формул лемма верна по индукционному предположению (в формулы и может входить меньшее число переменных, но так как лишние формулы не мешают, то лемма будет верна). Пусть для данного набора значения , , являются значениями формул , и соответственно.

а) Пусть , тогда . По индуктивному предположению верно:

По уже доказанному в 7-ом вопросе утверждению («если , то ») и уже доказанному в 9-ом вопросе утверждению («») — переносим влево:

По свойству №3 («лишняя формула не мешает») — добавляем :

По уже доказанному в 8-ом вопросе утверждению («если , то »):

По теореме дедукции («если , то »):

Следовательно, !

б) Пусть , тогда и . По индуктивному предположению верно:

(1)

По уже доказанному в 7-ом вопросе утверждению («если , то ») и уже доказанному в 9-ом вопросе утверждению («») — переносим влево:

По свойству №2 («порядок формул не имеет значения») и уже доказанному в 8-ом вопросе утверждению («если , то ») — переносим вправо:

По свойству №3 («лишняя формула не мешает») и по свойству №2 («порядок формул не имеет значения») — добавляем в начало:

По свойству №4 («удаление выводимой формулы») — так как и , то можно убрать формулы и как выводимые:

в) Пусть , тогда и . По индуктивному предположению верно:

По свойству №1 («!» или «!»):

По свойству №3 («лишняя формула не мешает») и по свойству №2 («порядок формул не имеет значения») — добавляем в начало:

По теореме дедукции («если , то »):

По свойству №3 («лишняя формула не мешает») и по свойству №2 («порядок формул не имеет значения») — добавляем в начало:

По свойству №4 («удаление выводимой формулы») — так как , то можно убрать формулу как выводимую:

Лемма доказана.