9. Тождественность формул ив. Доказать тождество:
Формулы
и
называются равносильными (тождественно
равными,
),
если верны секвенции
и
(или, что то же самое:
и
).
|
|
|
а) Докажем, что
В самом начале докажем, что если
По свойству №1 (
По свойству №3 («лишняя формула не
мешает») — добавляем
Следующее утверждение также справедливо,
так как по свойству №1 (
То есть
Так как по доказанному выше («если
По уже доказанному в 8-ом вопросе
утверждению («если
б) Докажем, что
Как уже было доказано выше «если
По уже доказанному в 8-ом вопросе
утверждению («если
|
.
— любая формула, то
.
):
:
)
и по свойству №3 («лишняя формула не
мешает») — добавляем
:
и
— по уже доказанному в 7-ом вопросе
утверждению («если
и
,
то
»):
— любая формула, то
»)
и свойству №2 («порядок формул не имеет
значения»), то имеем:
,
то
»),
то:
.
— любая формула, то
»:
,
то
»):
|
|
|
|
По
свойству ИВ №2 («если
По уже
доказанному в 8-ом вопросе утверждению
(«если
По уже
доказанному в 8-ом вопросе утверждению
(«если
По уже доказанному в 7-ом
вопросе утверждению («если
По уже
доказанному выше («
По свойству №2 («порядок формул не имеет значения»):
По уже
доказанному в 8-ом вопросе утверждению
(«если
По
теореме дедукции (««если
|
По
свойству ИВ №2 («если
По уже
доказанному в 7-ом вопросе утверждению
(«если
По
свойству №2 («порядок формул
не имеет значения»)
и уже доказанному в 8-ом вопросе
утверждению («если
По теореме дедукции:
По
свойству №1 («
По
свойству ИВ №2 («если
По уже доказанному в 7-ом
вопросе утверждению («если
По
свойству №2 («порядок формул
не имеет значения»)
и уже доказанному в 8-ом вопросе
утверждению («если
По теореме дедукции:
|
,
то
»):
,
то
»)
и по свойству №2 («порядок
формул не имеет значения»):
,
то
»):
,
то
»):
»):
,
то
»):
,
то
»»):
,
то
»):
,
то
»)
и уже доказанному выше («
»):
,
то
»):
или
»):
,
то
»):
,
то
»):
,
то
»):
10. Аксиоматическое введение в ив и
Функции
отрицания и импликации являются базисом,
и, значит, через них можно выразить любую
булеву функцию и, в частности, конъюнкцию
и дизъюнкцию
.
Конъюнкция (
):
-
Если
,
то
(введение конъюнкции слева). -
Если
,
то
(удаление конъюнкции слева). -
Если
,
то
(введение конъюнкции справа). -
Если
,
то
(удаление конъюнкции справа).
Дизъюнкция
(
):
-
Если
или
или
,
то
(введение дизъюнкции слева). -
Если
,
то
или
или
(удаление дизъюнкции слева). -
Если
или
или
или
или
,
то
(введение дизъюнкции справа). -
Если
,
то
или
или
или
или
(удаление дизъюнкции справа).
Примем без доказательства.