5. Теорема дедукции

Если из формул и выводится формула , то из формул выводится формула («если , то »). (Дедукция — переход от общего к частному.)

Метод математической индукции (индукция — это переход от частного к общему):

1. Проверяют истинность утверждения для — база индукции.

2. Предполагают, что утверждение верно для — индуктивное предположение.

3. Доказывают, что тогда оно верно и для — индуктивный переход.

Доказательство (методом математической индукции по числу — длине вывода).

Пусть есть вывод из и (то есть ).

База индукции. Пусть . Тогда совпадает с . Согласно определению вывода возможны 3 случая:

1) — аксиома	2) — формула из	3) совпадает с
Если — аксиома, то по свойству №3 («лишняя формула не мешает») — добавляем , а если — формула из , то ничего не добавляем: в любом из этих двух случаев можно вывести . () Тогда, по свойству ИВ №4: если и — любая формула ИВ, то			Значит совпадает с . По свойству ИВ №1 () и свойству №3 («лишняя формула не мешает»): То есть получили (где совпадает с ).

Допустим теперь, что если длина вывода формулы меньше , то утверждение теоремы верно, и докажем, что тогда теорема верна для длины вывода, равного . При этом возможны 4 случая:

1) — аксиома	2) — формула из	3) совпадает с
Доказательство такое же, как при
4) получена по правилу из , где то есть ( имеет вид )
Отбрасывая последние формулы из , получаем вывод . Отбрасывая последние формулы из , получаем вывод . Длины этих выводов меньше и мы имеем: Индуктивное предположение (верно для и ): Далее следует индуктивный переход к . По аксиоме А2: Имеем (, свойство №3: «лишняя формула не мешает» — добавляем ): к секвенциям (2) и (3): После этого, применяя все то же правило к секвенциям (1) и (4) получаем: То есть

Таким образом, индукция проведена, и теорема дедукции доказана.

6. Свойство транзитивности импликации. Доказать секвенцию: ,

Транзитивность импликации (правило силлогизма).

По свойству ИВ №2 («если , то ») и свойству №2 («порядок формул не имеет значения»):

По свойству №5 («если из формул выводится , а из набора формул выводится формула , то из набора формул выводится формула »):

Получаем («если из формул выводится , а из формул выводится формула , то из формул выводится формула »):

По свойству №2 («порядок формул не имеет значения») и теореме дедукции («если , то »):

Доказать секвенцию: .

По свойству ИВ №2 («если , то »):

По свойству №2 («порядок формул не имеет значения»):

По теореме дедукции («если , то »):

По теореме дедукции («если , то »):

По свойству №1 ( или ):

По свойству ИВ №2 («если , то »):

По свойству ИВ №2 («если , то »):

По свойству №2 («порядок формул не имеет значения»):

По теореме дедукции («если , то »):