
- •По математической логике и теории алгоритмов
- •1. Определение формальной аксиоматической теории (фат). Секвенции (выводы). Формулы. Построение формул. 5 свойств выводов
- •2. Исчисление высказываний. Построение ив как фат. Алфавит, формулы, аксиомы, выводы и правила вывода
- •3. Доказать, исходя из аксиом ив и правила вывода секвенцию — первое свойство выводов ив
- •4. Доказать, исходя из свойств выводов, аксиом ив и правила вывода ив следующие свойства выводов ив
- •Если , то .
- •Если и , то .
- •Если и — любая формула ив, то .
- •5. Теорема дедукции
- •6. Свойство транзитивности импликации. Доказать секвенцию: ,
- •7. Противоречивые формулы
- •Если , то .
- •8. Обоснование доказательства от противного: доказать, что если , то
- •9. Тождественность формул ив. Доказать тождество:
- •10. Аксиоматическое введение в ив и
- •11. Теорема о том, что всякая выводимая в ив формула есть тавтология
- •12. Доказательство леммы
- •13. Теорема о том, что любая тавтология выводима в ив
- •14. Полнота и непротиворечивость ив
- •15. Предикаты. Кванторы. Свойства кванторов
- •Перенос квантора через отрицание.
- •Вынос квантора за скобки.
- •Перестановка одноименных кванторов.
- •Переименование связанной переменной.
- •17. Выполнимость и общезначимость формул ип. Общезначимость формул , .
- •18. Аксиомы ип. Общезначимость аксиом ип. Правила вывода ип. Оформление ип как фат
- •19. Теорема об общезначимости формул ип, получающихся из общезначимых по любому из 4-х правил вывода ип
- •20. Полнота и непротиворечивость ип. Теорема Гёделя. Тезис Чёрча
- •21. Алгоритмы. Определение (интуитивное) алгоритма. Свойства алгоритмов. Направления поисков точного определения алгоритма. Вычислимые функции. Проблема алгоритмической неразрешимости
- •22. Рекурсивные функции. 3 простейших прф (примитивно-рекурсивных функций). Оператор суперпозиции. Примеры
- •23. Оператор пр (примитивной рекурсии). Доказать, что функции , , , , — прф
- •24. Оператор минимизации. Частично-рекурсивные функции. Доказать, что — чрф. Точное определение алгоритма. Тезис Чёрча
- •25. Машина Тьюринга. Тьюринговая функциональная схема. Точное определение алгоритма. Тезис Тьюринга
- •26. Функции, вычислимые по Тьюрингу. Доказать, что 3 простейших прф — вычислимы по Тьюрингу
- •27. Геделева нумерация мт. Примеры: по номеру найти мт и по мт записать номер
- •28. Самоприменимость мт. Теорема об алгоритмической неразрешимости проблемы самоприменимости
- •29. Нормальные алгоритмы Маркова. Точное определение алгоритма. Примеры
- •Литература
5. Теорема дедукции
Если из формул
и
выводится формула
,
то из формул
выводится формула
(«если
,
то
»).
(Дедукция — переход от общего к частному.)
Метод математической индукции (индукция — это переход от частного к общему):
-
Проверяют истинность утверждения для
— база индукции.
-
Предполагают, что утверждение верно для
— индуктивное предположение.
-
Доказывают, что тогда оно верно и для
— индуктивный переход.
Доказательство
(методом математической индукции по
числу
— длине вывода).
Пусть
есть вывод
из
и
(то есть
).
База
индукции. Пусть
.
Тогда
совпадает с
.
Согласно определению вывода возможны
3 случая:
1)
|
2)
|
3)
|
|
Если
Тогда, по свойству ИВ №4: если
|
Значит
По свойству ИВ №1 (
То есть получили
(где
|
Допустим
теперь, что если длина вывода формулы
меньше
,
то утверждение теоремы верно, и докажем,
что тогда теорема верна для длины вывода,
равного
.
При этом возможны 4 случая:
1)
|
2)
|
3)
|
Доказательство
такое же, как при
|
||
4)
то
есть
|
||
Отбрасывая последние
Отбрасывая последние
Длины этих выводов меньше
Индуктивное предположение
(верно для
Далее следует индуктивный
переход к
По аксиоме А2:
Имеем (
После этого, применяя все то же правило
То есть
|
Таким образом, индукция проведена, и теорема дедукции доказана.
6. Свойство транзитивности импликации. Доказать секвенцию: ,
Транзитивность импликации (правило силлогизма).
По
свойству ИВ №2 («если
,
то
»)
и свойству №2 («порядок формул не имеет
значения»):
По
свойству №5 («если из формул
выводится
,
а из набора формул
выводится формула
,
то из набора формул
выводится формула
»):
Получаем
(«если из формул
выводится
,
а из формул
выводится формула
,
то из формул
выводится формула
»):
По
свойству №2 («порядок формул не имеет
значения») и теореме дедукции («если
,
то
»):
Доказать
секвенцию:
.
По
свойству ИВ №2 («если
,
то
»):
По свойству №2 («порядок формул не имеет значения»):
По
теореме дедукции («если
,
то
»):
По
теореме дедукции («если
,
то
»):
По
свойству №1 (
или
):
По
свойству ИВ №2 («если
,
то
»):
По
свойству ИВ №2 («если
,
то
»):
По свойству №2 («порядок формул не имеет значения»):
По
теореме дедукции («если
,
то
»):