2. Исчисление высказываний. Построение ив как фат. Алфавит, формулы, аксиомы, выводы и правила вывода

Наиболее употребительными являются 2 системы аксиом:

• Исчисление высказываний.

• Исчисление секвенций.

По существу, обе эти системы составляют одну теорию.

Символы ИВ:

• Алфавит:

• Связки:

  • Отрицание — связка первого порядка. — «не ».

  • Импликация — связка второго порядка. — «из следует ».

  • Тождественная истинность — связка второго порядка. — « то же самое, что и ».

  • Скобки () — порядок действий.

  • Знак вывода . — « есть следствие » или « можно вывести из ».

Формулы ИВ:

• Первичные формулы — заглавные буквы латинского алфавита (возможно, с индексами):

Смысл первичных формул в ИВ — каждая буква заменяет высказывание, которое может быть либо истинным, либо ложным.

• Если и — формулы, то — тоже формулы.

• Все остальные формулы получаются из первичных с помощью применения конечного числа связок отрицания и импликации .

Внешние скобки можно опускать. Например, .

Отрицание относится непосредственно к наикратчайшей формуле, следующей за этим знаком. Например, означает .

Правило вывода формул ИВ только одно: modus ponens (, «модус поненс», переводится как «правило вывода») — которое состоит в следующем: («если верно и из следует , то тоже должно быть истинным»).

Аксиомы ИВ (являются независимыми друг от друга):

А1. (утверждение следствия).

А2. (самодистрибутивность импликации).

А3. (рассуждение от противного).

Вместо и можно подставлять любые формулы ИВ.

(Можно ввести другие системы аксиом, равносильные этим трём.)

3. Доказать, исходя из аксиом ив и правила вывода секвенцию — первое свойство выводов ив

(рефлексивность импликации). Это означает, что из приведённых выше трёх аксиом следует, что из любой формулы следует сама . Построим вывод:

1. Подставим в аксиому А2 вместо формулы формулу , а вместо — .

То есть из этого:

Получим:

2. Подставим в аксиому А1 вместо формулы формулу .

То есть из этого:

Получим:

3. По правилу из (1) и (2) непосредственно следует формула:

4. Подставим в аксиому А1 вместо формулы формулу .

То есть из этого:

Получим

5. Тогда из формул (3) и (4) по правилу выводится нужная формула:

4. Доказать, исходя из свойств выводов, аксиом ив и правила вывода ив следующие свойства выводов ив

2. Если , то .

По свойству №3 («лишняя формула не мешает») и №2 («порядок формул не имеет значения») — добавляем в начало:

По свойству №4 («удаление выводимой формулы») — так как по условию выводима из , то её можно убрать как выводимую:

2. Если и , то .

По свойству №3 («лишняя формула не мешает») и №2 («порядок формул не имеет значения») — добавляем в начало:

По свойству №4 («удаление выводимой формулы») — так как по условию и выводимы из , то их можно убрать как выводимые:

2. Если и — любая формула ив, то .

По свойству №3 («лишняя формула не мешает») и №2 («порядок формул не имеет значения») — добавляем в начало:

Так как — аксиома А1, то (аксиома следует из любых формул):

По свойству №3 («лишняя формула не мешает») — добавляем :

Из (1) по свойству №4 («удаление выводимой формулы») — так как по условию и , то их можно убрать как выводимые: