22. Рекурсивные функции. 3 простейших прф (примитивно-рекурсивных функций). Оператор суперпозиции. Примеры

Рекурсивные (рекуррентные) функции — это такие функции, значения которых можно вычислить для , если можно вычислить до , то есть каждое последующее значение вычисляется, если известны предыдущие.

Пример — числа Фибоначчи — последовательность чисел , удовлетворяющая условиям:

Рекурсивные функции разбиваются на два класса:

1. Примитивно-рекурсивные.

2. Частично-рекурсивные.

Если функция частично-рекурсивная, то она и примитивно-рекурсивная. Обратное неверно. То есть класс частично-рекурсивных функция больше, так как включает в себя все примитивно-рекурсивные функции.

Введём три простейшие рекурсивные функции, которые по определению считаются примитивно-рекурсивными (ПРФ).

1. — нуль-функция, оператор аннулирования.

2. — прибавление 1, функция Пеано, оператор сдвига.

3. — функция-проектор, оператор проектирования. В частности, — простейшая ПРФ.

Очевидно, что эти три функции всюду определены (на ) и вычислимы.

Оператор суперпозиции (получение сложной функции, или «функции от функции»).

Пусть даны функции и функция . Тогда применение оператора суперпозиции даёт новую функцию:

То есть в функцию вместо подставили .

Смысл оператора: если можно у вычислимой функции вычислить аргументы по формулам (), то и саму функцию также можно вычислить. То есть вычислимая сложная функция тоже вычислима.

Например, с помощью этого оператора можно получить из простейших рекурсивных функций следующие функции:

23. Оператор пр (примитивной рекурсии). Доказать, что функции , , , , — прф

Примитивная рекурсия.

-местная функция (то есть функция аргументов) получена из -местной функции и -местной функции с помощью оператора примитивной рекурсии, если значение можно вычислить по так называемой схеме примитивной рекурсии:

В это случае говорят: «рекурсия проводится по ».

При функция одного аргумента получается примитивной рекурсией по из и функции двух переменных следующим образом:

При функция двух аргументов получается примитивной рекурсией по из и функции трех переменных следующим образом:

При функция трех аргументов получается примитивной рекурсией по из и функции четырёх переменных следующим образом:

Обычно рекурсию проводят по последнему аргументу, но всегда можно переставить аргументы с помощью оператора суперпозиции.

Функция называется примитивно-рекурсивной (ПРФ), если она может быть получена с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии, применённых к простейшим функциям .

Замечание 1. Очевидно, что для получения ПРФ функции, участвующие в схеме ПРФ и , должны быть тоже ПРФ.

Замечание 2. Очевидно, что ПРФ от переменных определена на пространстве .

Замечание 3. Если про некоторые функции известно, что они ПРФ, то операторы можно применить к ним, а не доходить каждый раз до простейших.

Замечание 4. Если — ПРФ, то — тоже ПРФ, так как получена из оператором суперпозиции.

Докажем, что следующие функции — ПРФ:

1. . Введем — ПРФ, так как .

Введём — ПРФ, так как .

Тогда получается по схеме примитивной рекурсии по :

Следовательно, — ПРФ.

Следствие: сумма двух ПРФ есть также ПРФ.

2. . Введём — ПРФ.

Введём — ПРФ (доказано выше).

Тогда получается по схеме примитивной рекурсии:

Следовательно, — ПРФ.

Следствие: произведение двух ПРФ есть также ПРФ.

3. .

Эта функция получается по схеме примитивной рекурсии:

Где — функция-проектор (всегда выбирает ), ПРФ.

4. .

Эта функция получается по схеме примитивной рекурсии:

Где — ПРФ (доказано выше).

5. .

Если , то .

Если , то .

То есть .

Очевидно, что функция — ПРФ как сумма двух ПРФ.

Примитивно-рекурсивные функции определены для всех значений аргументов из .