18. Аксиомы ип. Общезначимость аксиом ип. Правила вывода ип. Оформление ип как фат

Аксиомы ИП (для любых формул ИП ):

А1. .

А2. .

А3. .

А4. , где формула не содержит переменной .

А5. , где формула не содержит переменной .

Первые три аксиомы аналогичны аксиомам ИВ.

Теорема. Все аксиомы ИП — общезначимые формулы. Для аксиом А1, А2 и А3 это следует из теории ИВ. Для аксиом А4 и А5 — это следует из доказанных теорем для и для (см. 17-ый вопрос).

Правила вывода:

1. Правило modus ponens (): .

2. Правило связывания квантором всеобщности ( не содержит ):

3. Правило связывания квантором существования ( не содержит ):

4. Правило переименования связанной переменной. Связанную переменную формулы (в кванторе и во всех вхождениях в области действия квантора) можно обозначить другой переменной, не являющейся свободной переменной формулы .

Понятия вывода, теоремы, вывода из системы гипотез определяются в ИП так же, как и в любой аксиоматической теории (ФАТ).

Теорема (ослабленная теорема дедукции).

Если и существует вывод в ИП, построенный с применением только правила , то . Доказательство аналогично доказательству теоремы дедукции ИВ.

19. Теорема об общезначимости формул ип, получающихся из общезначимых по любому из 4-х правил вывода ип

Предложение. Формула, получающаяся из общезначимой формулы с помощью правил вывода 1-4, является общезначимой.

Доказательство.

1. Для правила вывода 1 () наше утверждение следует из свойств импликации.

Значит и .

2. Рассмотрим правило вывода 2 (). Пусть — общезначимая формула. Докажем, что формула тоже общезначима. Возможны два случая.

   1. на произвольном наборе своих свободных переменных принимает значение 1 (истина). Тогда по свойству импликации , то есть , то есть . Отсюда следует, что на любом наборе аргументов формулы : .

   2. на каком-то наборе своих свободных переменных принимает значение 0 (ложь), но тогда , то есть в любом случае .

3. Рассмотрим правило вывода 3 (). Пусть формула общезначима. Докажем, что и формула также общезначима.

   1. Если формула (для каких-то значений свободных переменных) принимает значение 0, то для этих значений свободных переменных по свойству импликации формула принимает значение 1.

   2. Если же (для каких-то значений свободных переменных) принимает значение 1 и так как общезначима, то принимает значение 1 и, значит, формула принимает значение 1, следовательно, , то есть эта формула общезначима.

4. То, что правило вывода 4 сохраняет общезначимость, очевидно из свойств кванторов.

Так как аксиомы исчисления предикатов — общезначимые формулы (см. 18-ый вопрос) и формула, получающаяся из общезначимой формулы с помощью правил вывода 1-4, является общезначимой (как показано выше), то любая выводимая из аксиом формула в ИП является общезначимой.

20. Полнота и непротиворечивость ип. Теорема Гёделя. Тезис Чёрча

Так как аксиомы исчисления предикатов — общезначимые формулы (см. 18-ый вопрос) и формула, получающаяся из общезначимой формулы с помощью правил вывода 1-4, является общезначимой (см. 19-ый вопрос), то любая выводимая из аксиом формула в ИП является общезначимой.

Знаменитый немецкий математик-логик Курт Гёдель доказал и обратное утверждение.

Теорема (о выводимости формул в ИП). Формула в ИП выводима (из аксиом), если и только если она общезначима. То есть выводимость в ИП общезначимость.

Из этой теоремы сразу же следует.

Теорема (о непротиворечивости). Исчисление предикатов — непротиворечивая теория. Непротиворечивая, так как не могут быть одновременно общезначимы (то есть тождественно истинны в любой возможной интерпретации) формулы и .

Теорема Гёделя (о полноте исчисления предикатов). Всякая общезначимая формула выводима в исчислении предикатов.

Таким образом, в ИП формула выводима (из аксиом) тогда и только тогда, когда она общезначима. Однако не существует алгоритма, позволяющего определить общезначимость любой формулы. Это связано с тем обстоятельством, что интерпретация предикатов может содержать бесконечные возможные значения переменных.