17. Выполнимость и общезначимость формул ип. Общезначимость формул , .

Формула в ИП называется выполнимой, если существует хотя бы одна интерпретация, в которой выполнима (принимает истинное значение).

Пример. в любой интерпретации невыполнима.

Формула в ИП называется выполнимой в данной интерпретации , если существует хотя бы один набор значений свободных переменных формулы такой, что эта формула принимает значение 1: .

Формула в ИП называется истинной в данной интерпретации , если она принимает значение 1 на любом наборе значений своих свободных переменных.

Формула в ИП называется общезначимой или тождественно-истинной, если она истинна в любой возможной интерпретации.

Пример 1. в любой интерпретации, то есть эта формула общезначима. Этот логический закон называется «закон исключённого третьего».

Пример 2. Пусть на множестве , то есть на . Рассмотрим формулу . Эта формула выполнима, например, при . Действительно:

Однако, если , то не выполнима, так как при любых не такой , что .

Делаем вывод: формула не общезначима.

Теорема. Формула общезначима тогда и только тогда, когда — невыполнима и формула выполнима тогда и только тогда, когда не является общезначимой.

Действительно, если , то , то есть невыполнима.

Если в какой-то интерпретации, то есть выполнима, то в этой интерпретации, то есть не является общезначимой.

Замечание. Очевидно, что если и равносильные в ИП формулы, то формула — общезначимая формула, что позволяет получать новые общезначимые формулы.

Докажем общезначимость некоторых формул.

Теорема 1. Пусть формула в ИП, в которой — свободная переменная, а не входит в формулу (но мы считаем, что и берутся из одной и той же интерпретации). Тогда формула общезначима.

Действительно, если формула при каких-то конкретных значениях свободных переменных (в любой возможной интерпретации) принимает значение 0, то формула принимает значение 1. Если же принимает значение 1, то очевидно, и также принимает значение 1. Таким образом, формула в любой возможной интерпретации всегда принимает значение 1, то есть она общезначима.

Теорема 2. Пусть формула в ИП, в которой — свободная переменная, а не входит в формулу (но мы считаем, что и берутся из одной и той же интерпретации). Тогда формула общезначима.

Действительно, если , то формула принимает значение 1 в силу свойства импликации. Если же для какого-то (при конкретном наборе других свободных переменных) , то и формула также примет значение 1 и, значит, формула будет истинной, а значит и общезначимой.

Покажем, что общезначимость формулы теоремы 2 есть следствие общезначимости формулы теоремы 1.

Подставим в формулу теоремы 1 вместо — :

Теорема 3. Пусть — тождественно-истинная формула ИВ, — набор её переменных. Если вместо каждой переменной подставить формулы логики ИП так, чтобы не нарушались пункты 1-4 определения формулы ИП, то получим общезначимую формулу ИП.

Задача распознавания общезначимости формул ИП существенно сложнее, чем формул ИВ. Действительно, в ИВ можно по таблицам истинности установить тождественную истинность.

В ИП неприменим метод перебора всех вариантов наборов переменных, так как их может быть много (если интерпретаций ). В общем случае эта так называемая «проблема разрешимости» в ИП неразрешима.

Теорема Чёрча. Не существует алгоритма, который для любой формулы логики предикатов устанавливает, логически общезначима формула или нет.

Однако в некоторых частных случаях, например, если рассматривать только одноместные предикаты, эта проблема разрешима, то есть существует алгоритм распознавания общезначимости формулы. Такая логика, в которой употребляются только одноместные предикаты, была описана ещё Аристотелем.

Поэтому в ИП выделение общезначимых формул осуществляется путём указания некоторой совокупности формул (аксиом) и правил вывода, позволяющих из общезначимых формул получать общезначимые.