Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ»

Кафедра ВТ

Отчет по практической работе №1

«Исследование характеристик сигналов

во временной и частотной областях»

Выполнили:

Группа:

Санкт-Петербург

2014

Оглавление

Цель работы 3

Общие сведения 3

Цель работы

Цель работы - исследование свойств характеристик сигналов во временной и частотной областях при моделировании в среде пакета MATLAB.

Общие сведения

Для описания различных сигналов используют два типа представлений: во временной области и в частотной области.

Во временной области непрерывный по времени сигнал х(t), заданный на интервале (0, Т) аналитической функцией времени, может быть представлен также последовательностью отсчетов x(ndt)=x(n), разделенных интервалом дискретизации по времени dt. При этом число отсчетов в реализации N=T/dt, n=0..N-1. Эквивалентность непрерывного и дискретного описаний определяется теоремой Котельникова, в соответствии с которой накладываются ограничения на интервал дискретизации dt1/(2F_max) или частоту дискретизации f_s=1/dt=2F_max, где F_max - верхняя частота спектра непрерывного сигнала x(t).

В частотной области сигнал представляется с помощью набора спектральных коэффициентов, полученных путем разложения исходного сигнала по системе базисных функций. Используют различные базисные функции, но наибольший практический интерес представляет разложение по комплексным функциям Фурье (преобразование Фурье):

• ехр(j2fkt) - для непрерывных сигналов (fk k-я гармоника);

• exp(j2kn/N) - для последовательностей.

Если непрерывный сигнал xp(t) периодический и задан в пределах периода T, то последовательность xp(n) также будет периодической с периодом в N отсчетов. В этом случае спектр сигнала Xp(fk) для xp(t) и Xp(k) для xp(n) будет в силу периодичности базисных функций периодической комплексной функцией своего аргумента. Поэтому достаточно ограничиться одним периодом для спектра, приняв диапазон изменения k=0, N-1. При этом максимальная частота спектра Fmax будет определяться частотой выборки Fmax= fs/2=1/(2dt), а интервал дискретизации по частоте df=fs/N=1/T.

С помощью преобразования Фурье можно вычислять спектр и непериодических сигналов, полагая, что период сигнала равен времени его наблюдения.

В задачах обработки сигналов особый интерес представляет операция дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Основные соотношения, описывающие прямое и обратное преобразования Фурье для последовательности x(n) имеют обычно следующий вид:

• прямое (ДПФ) X(k)=[x(n)exp(-j2nk/N)], n,k=0,..,N-1;

• обратное (ОДПФ) x(n)=1/N {[X(k)exp(j2kn/N)]}, k,n=0,..,N-1.

Спектр X(k) представляет собой комплексную функцию аргумента и для действительной последовательности x(n) выполняются следующие условия симметрии:

для k=0.. N/2-1;

Re[X(k)]=Re[X(N-k)]; Im[X(k)]= -Im[X(N-k)]; abs[X(k)]=abs[X(N-k)].

Если последовательность x(n) четная, т.е. x(n) = x(N-n) для n=0..N/2-1 ДПФ для x(n) представляет действительную четную функцию аргумента; если последовательность x(n) нечетная, т.е. x(n)= -x(N-n) для n=0..N/2-1 ДПФ для x(n) представляет мнимую нечетную функцию аргумента.

Эквивалентность описания сигнала во временной и спектральной областях определяется равенством Парсеваля, отмечающим неизменность средней мощности сигнала независимо от формы его описания: p=(1/N){[x (n)] 2}=(1/N2){[abs(X (k))] 2} .