Вероятностная модель
Рассмотрим теперь случай, когда топология сети детерминирована, а продолжительность работ имеет вероятностную оценку. Методы для расчёта такого типа моделей впервые применялись в рамках методики PERT, о которой уже упоминалось выше.
Пусть
продолжительность любой из работ –
случайная величина, обладающая такими
характеристиками, как средняя
продолжительность
и дисперсия работы
.
Очевидно, что в данном случае на распределение длительности работ накладывается ряд ограничений. Это распределение должно быть неотрицательным, унимодальным, конечным и непрерывным [4]. Для расчёта продолжительности используют так называемые «экспертные» оценки длительности:
наиболее вероятная
(в формулах – m);пессимистичная
(в
формулах – b);оптимистичная
(в
формулах – a).
На основе многочисленных исследований, отмеченных в [3, с. 8], определено, что в качестве закона распределения можно использовать бета-распределение, которое удовлетворяет всем указанным условиям.
Функция
плотности бета-распределения определяется
на отрезке
следующим образом:
|
(1.12) |
,
где
|
(1.13) |
;в свою очередь бета-функция –
|
(1.14) |
,
где гамма-функция определяется по формуле
|
(1.15) |
.
Расчёт коэффициентов бета-функции α и β производится по следующим формулам.
|
(1.16) |
|
(1.17) |
,
,
где a – оптимистичная продолжительность работы,
b – пессимистичная продолжительность работы,
m – наиболее вероятная продолжительность работы.
На
Error: Reference source not found
изображены график функции плотности
вероятности (а) и функции распределения
(б) для бета-распределения с параметрами
|
б) функция распределения. |
Рис. 1.8. Бета-распределение.
Правила
вывода формул ( 1 .16) и ( 1 .17) описаны в
[22]. Следует отметить, что средняя
продолжительность работы является
математическим ожиданием
случайной величины «длительность
работы» и вычисляется по формуле
|
(1.18) |
.
Дисперсия оценки продолжительности работы определяется так:
|
(1.19) |
.
Таким
образом,
характеризует наиболее вероятную
длительность операции, тогда как
определяет величину диапазона возможных
длительностей. Чем меньше величина
дисперсии, тем меньше неопределённость
длительности работы.
Согласно [4], формулы ( 1 .18) и
«носят полуэмпирический характер». Голенко-Гинзбургом в качестве альтернативы методам расчёта PERT была предложена модель на основе двух оценок, которая значительно упрощает процесс расчёта и имеет ряд преимуществ перед технологией PERT [4, с. 17], а статистический анализ проекта в этом случае показывает несущественные изменения.
Плотность распределения определена следующим образом:
|
(1.20) |
,
средняя длительность работы:
|
(1.21) |
,
дисперсия:
|
(1.22) |
.
Некоторые авторы предлагают различные альтернативы методу PERT, например метод А. А. Мешкова [5].
Ожидаемую длительность проекта вычисляют как среднюю продолжительность критического пути – это сумма средних длительностей работ, лежащих на этом пути, а отклонение длительности – сумма отклонений работ:
|
(1.23) |
|
(1.24) |
.
.
Но
величина
не всегда удовлетворительна, поэтому
дополнительно выбирают директивную
продолжительность
[14],
и оценивают вероятность завершения
работы до предписанного срока
:
|
(1.25) |
,
где 
–
функция плотности,
–
продолжительность критического пути,
– директивная длительность критического пути,
–
оптимистичная (наименьшая) продолжительность
критического пути.
PERT-анализ обладает рядом недостатков, из-за которых вместо него выбирают альтернативные решения. Среди недостатков метода:
субъективная оценка продолжительности работ;
выбранная функция распределения для вычисления средней продолжительности работ часто не совпадает с реальным законом распределения;
для продолжительных проектов оценка с помощью PERT при разработке может кардинально отличаться от оценки, проводимой на одном из этапов реализации (требуются постоянные корректировки);
неточная оценка критического пути: работы не на критическом пути с большой дисперсией могут стать критическими во время выполнения.