Достаточные условия экстремума интегрального функционала
Пример 1 показывает, что знакоопределенность второй вариации функционала необходима, но не достаточна для того, чтобы функционал имел на экстремали максимум или минимум. Нужны дополнительные условия.
Докажем предварительно лемму, которая позволяет выразить приращение интегрального функционала через его первую и вторую вариацию.
Лемма
1. Пусть
функция
имеет
непрерывные частные производные по
второму и третьему аргументу до третьего
порядка. Пусть, далее,
–
произвольные допустимые функции. Тогда
для функционала
(16) справедливо
представление:
,
(17)
причем
.
Доказательство. По формуле Тейлора для функции имеем:
,
где
,
а
–
приращения соответствующих аргументов.
Так как при любом
и
достаточно малых
функции
,
,
,
можно считать ограниченными одной
постоянной
,
то для последних четырех слагаемых
справедлива оценка:
.
Положим
и проинтегрируем равенство по
.
По определению функционала
,
а также первой и второй вариации,
получаем искомое равенство (17), причем
для последнего слагаемого справедлива
оценка:
.
Лемма доказана.
Теорема 2. Пусть
и существует положительная постоянная
,
такая, что при всех достаточно малых
ненулевых
справедлива оценка
(соответственно,
).
Тогда
–
точка локального минимума (соответственно,
максимума) функционала (16).
Доказательство проведем для первого случая. Из формулы (17) вытекает, что при достаточно малых справедлива оценка
.
Не нарушая общности можно считать, что
,
а тогда
в некоторой окрестности точки
.
Следовательно, в точке
–
локальный минимум. Теорема доказана.
Теорема 2 дает, наконец, первое достаточное условие минимума (максимума) интегрального функционала. На первый взгляд кажется, что проверить условия теоремы 2 несложно: нужно лишь поточнее оценить функции и . В следующем примере проверка условий теоремы 2 действительно не представляет труда.
Пример 2. Рассмотрим задачу минимизации функционала
,
на классе функций, удовлетворяющих
условиям:
.
Решаем уравнение Эйлера, получаем
семейство экстремалей
,
из которых граничным условиям
удовлетворяет функция
.
Проверяем условия теоремы 2:
,
следовательно,
.
Итак, экстремаль является точкой минимума заданной вариационной задачи.
Нетрудно заметить, что решение примера 2 оказалось столь простым в силу того, что обе функции, и , в данном случае строго положительны (и даже постоянны, хотя это и менее существенно).
Знакоопределенность функции является необходимым условием экстремума (следствие из теоремы 1), но функция , вообще говоря, может менять знак совершенно произвольно. В этом случае непосредственная проверка условий теоремы 2 окажется сложной задачей. Поэтому процесс поиска эффективных и легко проверяемых достаточных признаков экстремума следует продолжить.