Примеры решения некоторых вариационных задач

В качестве иллюстрации построенной теории решим три классические задачи: задачу Дидоны, задачу о брахистохроне и задачу о минимальной поверхности вращения. Каждую из этих задач сначала переформулируем в вариационных терминах, то есть поставим ее как задачу отыскания минимума функционала с заданными граничными условиями, а затем решим ее разработанными выше методами вариационного исчисления.

1. Задача Дидоны

Вспомним задачу, о которой говорилось в начале курса: мы оставили Дидону в тот момент, когда ей нужно было ограничить шнуром фиксированной длины максимальную площадь. Мы уже освоили вариационное исчисление настолько хорошо, что можем помочь Дидоне.

Рассмотрим множество функций , определенных на отрезке , таких, что при всех , а (рис. 3). Вместе с отрезком график каждой функции ограничивает площадь, задаваемую функционалом

.

Потребуем дополнительно, чтобы кривые имели фиксированную длину, то есть постоянное значение сохранял функционал вида:

.

Мы получаем, таким образом, изопериметрическую задачу, для которой нам уже известны методы решения.

Выстраиваем вспомогательную функцию и записываем для нее уравнение Эйлера. Функция не зависит от переменной , следовательно, уравнение Эйлера допускает первый интеграл

,

представляющий собой дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Разрешая его относительно , получаем уравнение в разделяющихся переменных, интегральными кривыми которого являются окружности:

.

Учитывая граничные условия, находим, что , а . Не нарушая общности, можем считать, что интересующая нас дуга окружности не больше ее половины, тогда центр окружности лежит ниже оси , и . Для определения параметра , то есть радиуса искомой окружности, используем условие постоянства периметра.

.

У равнение эквивалентно уравнению где , , . Из геометрических соображений ясно, что задача содержательна лишь при условии , следовательно, , а тогда уравнение всегда имеет на отрезке единственный корень (рис. 4).

Отсюда находим радиус искомой окружности и координаты ее центра: .

2. Задача о брахистохроне

Предположим, что точки и лежат в плоскости с осью , направленной вниз (рис.5). Положим и и пусть – уравнение дуги, соединяющей точки и так, что , , , . Скорость движения вдоль кривой пусть равна . Тогда время спуска равно

.

Чтобы найти скорость v как функцию координаты x, воспользуемся законом сохранения энергии:

,

где — начальная скорость движения частицы. Тогда

,

и задача свелась к выбору функции , для которой интеграл

достигает наименьшего значения из всех возможных.

Так как функция зависит только от и , то уравнение Эйлера допускает первый интеграл:

.

Разрешая это уравнение относительно , находим

,

где мы положили . Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка в разделяющихся переменных. Решая его, имеем:

.

Для вычисления интеграла удобно воспользоваться заменой

. Тогда

.

Мы пришли к решению в параметрической форме

Это и есть кривая наибыстрейшего спуска, известная под названием циклоиды. Можно показать, что выбор постоянных и позволяет провести циклоиду через произвольные две заданные точки. Напомним, что величина не является произвольной постоянной.