Вероятность. Функции распределения.

Любой случайной величине х можно поставить в соответствие множество ее возможных значений (оно называется генеральной совокупностью). Если это множество представляет собой набор отдельных значений, то случайную величину называют дискретной. Для каждого из этих значений х_i можно ввести величину p(х_i), называемую вероятностью, таким образом, что при увеличении числа опытов отношение числа случаев, когда случайная величина х примет значение х_i , к полному числу опытов n стремится к р(х_i)

Вероятность, что случайная величина будет иметь какое-либо (любое) значение из всех возможных, равна 1., поэтому

, где m – число возможных значений дискретной случайной величины.

В науке часто используются непрерывные случайные величины, для которых множество значений представляет собой некоторый интервал (или набор интервалов). Пример: показания вольтметра, измеряющего напряжение в сети.

Для непрерывной случайной величины вводится понятие плотности распределения. Пусть случайная величина принимает значения х . Плотность распределения – это такая функция р(х), что вероятность обнаружить значение в интервале от a до b выражается интегралом:

Поскольку вероятность обнаружить какое-либо (любое) значение равна 1,

Для эмпирической оценки функции распределения можно провести серию опытов , затем разбить интервал возможных значений на небольшие отрезки и оценить вероятность попадания значения случайной величины в каждый из отрезков как отношение числа благоприятных исходов, при которых получено значение в пределах отрезка [a,b] к полному числу опытов: Истинное значение плотности вероятности достигается в пределе при увеличении числа опытов и уменьшении длины отрезка вблизи исследуемого значения х :

Нормальное распределение. Характеристики случайных величин.

Очень многие случайные величины, встречающиеся в природе, имеют функцию распределения, называемую нормальной (иначе её называют функцией Гаусса). Эта функция имеет вид симметричного колокола с максимумом, совпадающим с истинным значением величины. Математически она выражается как: . Построив соответствующий график, можно убедиться, что эта функция имеен максимум при х=Х, а ширина колокола определяется величиной . Множитель, стоящий перед экспонентой, необходим для нормировки – чтобы вероятность получения какого-либо (любого) значения была равна 1.

Представим себе, что для более точного нахождения истинного значения случайной величины мы провели несколько измерений и получили значения х₁,х₂,…,х_n. Покажем, что наилучшей оценкой истинного значения будет среднее арифметическое измеренных значений. Для этого воспользуемся методом максимального правдоподобия:

Пусть нам нужно найти параметры функции распределения (в данном случае – истинное значение Х) Мы выберем такое значение искомого параметра, при котором вероятность получения измеренного набора значений х₁,х₂,…,х_n максимальна. Если выразить вероятность получения значения х в интервале (х,х+х) как произведение функции нормального распределения на ширину интервала, а также учесть, что вероятность получения всей совокупности независимых событий равна произведению вероятностей, то . Для нахождения максимума этой вероятности, продифференцируем эту функцию по Х и приравняем производную к нулю. Как и ожидалось, максимум достигается при , где n – число измерений. Аналогичным образом, подставив вместо Х среднее арифметическое, дифференцируя функцию вероятности по переменной  и приравнивая производную к нулю, получим, что наилучшая оценка ширины распределения – это .

По этой формуле делается оценка величины стандартного отклонения, определяющего разброс измеряемых значений вблизи истинного значения величины. Взяв интеграл от нормальной функции распределения в интервале от Х- до Х+ , можно определить, что вероятность получения измеренного значения в пределах Х равна 0.68 . В общем случае, результат исследований следует представлять как оценку истинного значения и доверительный интервал, соответствующий значению вероятности, с которой истинное значение лежит внутри этого интервала.

Как правило, в научных исследованиях вывод о наличии какого-либо эффекта делается в том случае, когда измеренная величина выходит за пределы возможных случайных отклонений более чем на 3, что соответствует вероятности случайной имитации около 0.3%.

Смысл стандартного отклонения состоит в том, что оно определяет точность определения истинного значения в результате одного измерения (т.е. разброс измеряемых значений). Какую же точность дает оценка истинного значения как среднего арифметического нескольких измеренных величин? Воспользовавшись формулой для вычисления ошибки суммы (используя квадратичное сложение), получаем:

Таким образом, при проведении n измерений точность результата улучшается в раз.