Точность измерений и вычислений.

Любые измерения в естественных науках производятся с некоторой точностью. Так, используя различные методы измерений, расстояние 1км можно определить с точностью до 10м, до 1м, до 10см... В любом случае точность не будет абсолютной. Представляя результат, принято указывать не только саму величину, но и погрешность, с которой она получена: S=1км10м. или S=100010 м.

Кроме абсолютной погрешности, которую обычно обозначают х, часто используется относительная погрешность х=х/х . В приведенном выше примере относительная погрешность равна 10м / 1000м = 0.01 = 1%. Отметим, что относительная погрешности – безразмерная величина. Вместо слова «погрешность» часто используется термин «ошибка». Наличие «ошибок» не указывает на промахи экспериментатора, а лишь свидетельствует о конечной точности эксперимента.

В социальных науках также необходимо знать достоверность, с которой сделаны выводы. Например, если в результате опроса в городе А из 10 человек 5 ответили, что поддерживают реформы, а в городе Б – 6 человек из 10, то нет оснований для вывода, что в городах А и Б люди относятся к реформам по-разному. Более правильно говорить, что от 40% до 70% населения городов А и Б поддерживают реформы.

Несмотря на богатые возможности компьютера как вычислительного средства, в численных расчетах на компьютере также присутствуют погрешности. Как правило, они связаны с тем, что действительные числа, представляющие собой бесконечные десятичные дроби, хранятся в памяти компьютера в виде конечных дробей. Для примера оценим, с какой точностью хранится в компьютере действительное число, если под него отводится ячейка размером 4 байта.

Чтобы можно было записывать в одной и той же ячейке как маленькие числа (0.0001), так и большие (1.510¹²), действительные числа хранятся в виде a10^b . В этом случае 1 байт из 4-х можно отвести под порядок (величина b), из оставшихся 24 бит 1 бит будет содержать знак числа, а 23 бита – мантиссу (число а). Т.к. 2⁸=256, то байт порядка может иметь 256 различных состояний. Значит, с учетом знака, число b будет принимать значения в интервале от -127 до 127. Т.к. 2²³10⁷, то числа, лежащие в интервале от 0 до 1, могут храниться с точностью до 7 знаков после запятой. Важно то, что в описанном представлении относительная точность (10^-7) не зависит от величины хранимого в памяти числа.

Несмотря на то, что точность 7 знаков после запятой воспринимается как очень хорошая точность, в некоторых случаях ее недостаточно. Прежде всего, это относится к задачам, в которых требуется суммировать большое количество величин, в частности, к численному интегрированию. Например, точность, полученная в результате суммирования 10⁴ слагаемых, составит всего лишь 3 знака после запятой. В подобных случаях следует использовать ячейки памяти большего размера или применять численные методы решения задачи, использующие меньшее число арифметических операций.

Ошибки в случае сложных измерений.

Для доказательства тех формул, которые будут получены ниже, удобно считать, что величина ошибки х означает, что максимальное возможное значение измеряемой величины будет равно х+х, а минимальное возможное значение равно х-х .

Погрешность суммы и разности. Если есть две измеренные величины xх и yy , то максимально возможное значение их суммы z=x+y равно z_max=x+y+х+y, минимальное значение z_min= x+y-х-y . Значит, погрешность величины суммы равна z=х+y. Поскольку для величины разности z=x-y максимальное значение достигается в случае наибольшего уменьшаемого и наименьшего вычитаемого, значит, как и для суммы, z_max=x+y+х+y. Аналогично, z_min= x+y-х-y. Поэтому погрешность разности равна сумме погрешностей: z=х+y.

Погрешность произведения. Для рассмотрения погрешности произведения z=xy заметим, что максимальное значение произведения (если сомножители неотрицательны) равно z_max=(x+х)(y+y). Каждый из сомножителей в скобках представим в виде

x_max=x+х=x(1+x/x)=x(1+x) y_max=y+y=y(1+y/y)=y(1+y)

тогда, раскрывая скобки, получим: z_max=xy(1+x) (1+y)=xy(1+x+x+xy)  xy(1+x+y)

(Мы воспользовались тем, что в случае малых относительных ошибок их произведение xy значительно меньше каждой из них). Сравнивая записи для x_max и z_max , приходим к выводу, что в случае произведения относительные погрешности складываются. z=x+y. Аналогично можно доказать справедливость этой же формулы для частного z=x/y.

П огрешность косвенных измерений. (результат получается из измеренной величины по формуле y=f(x) ). Этот случай лучше всего рассмотреть графически.

Как видно из рисунка, максимальное и минимальное возможные значения равны f(x+x), f(x-x). При малых погрешностях можно заменить функцию вблизи рассматриваемой точки х касательной. Тангенс ее наклона определяет величину y из показанного на рисунке треугольника: y=х tg  . Так как тангенс угла наклона касательной равен производной функции y(x), то можно записать , где - обозначение производной. Модуль позволяет рассматривать как возрастающие, так и убывающие функции.

Если результат вычисляется по формуле, в которую входит несколько непосредственно измеренных величин, то можно провести аналогичные рассуждения, используя понятие функции нескольких переменных. , где использованы так называемые частные производные – производные функции нескольких переменных по одной из них, в то время как другие переменные заменены числовыми значениями. Это применимо в случае независимых измеряемых величин. Кроме того, в случае независимых х и у правомерно заменить сумму модулей квадратичной суммой (дающей несколько меньшее значение):

Это и есть основная формула для вычисления погрешностей в случае косвенных измерений. Число измеряемых величин в этой формуле может быть любым. Формулы для погрешностей суммы, разности, произведения и частного следуют из этой формулы (если не использовать квадратичное суммирование) как частные случаи.

ПРИМЕР: Определяется плотность вещества, из которого сделан кубик. В результате измерений известно, что ребро равно 100.1см, масса равна 80010г. Плотность вычисляется по формуле: . Тогда, взяв производные, получим формулу для погрешности: . Подставив значения, получаем

=0.8г/см³ , г/см³