Исчисления (рис. 11.8.) – содержит используемые при решении задач математического анализа операторы: определенные и неопределенные интегралы, производные, пределы, суммы и произведения.
Рис. 11.8.
Логические (рис. 11.9.) – содержит логические операторы.
Рис. 11.9.
Программирование (рис. 1.10) – содержит операторы языка программирования MathCad.
Рис. 1.10
Греческие (рис. 1.11) – содержит буквы греческого алфавита.
Рис. 1.11.
Символика (рис. 1.12) – содержит операторы для проведения аналитических преобразования.
Рис. 1.12.
Рабочая область занимает большую часть экрана и имеет вид белого листа, разбитого на прямоугольники формата А4. При желании пользователя можно изменить цвет рабочей области (опция Заливка команды Цвет подменю Формат), также можно изменить стиль, цвет и размер формул и текста используя подменю Формат.
На рабочей области расположен курсор ввода в виде красного крестика. Для удобства работы рабочую область можно разбить на регионы и выделить их серым цветом с помощью подменю Вид команда Регионы.
Для форматирования текста, выравнивания регионов, построения чертежа можно воспользоваться командой Линейка подменю Вид. В зависимости от типа редактируемых данных линейка может быть прострой и текстовой. При помощи прострой линейки можно отмерять точные расстояния на листе. Чтобы пометить нужную точку нужно выполнить по соответствующему делению на линейке щелчок мыши. При помощи контекстного меню (щелчок правой кнопки мыши на линейки) можно визуализировать опорную линию, а также выбрать единицы измерения градуировки линейки. Текстовая линейка схожа с аналогичной линейкой Word и служит для установки отступов и абзацев.
В нижней части окна расположена строка состояния для отображения общей служебной информации.
Создание, сохранение и открытие файлов MathCAD.
Для создания, сохранения и открытия документов используется пункт меню Файл.
При запуске MathCAD автоматически загружается чистый безымянный документ. Для сохранения документа используется команда Сохранить как подменю Файл главного меню. Файлы MathCAD имеют расширения: mcd (формат файлов MathCAD), mct (формат шаблонов MathCAD), rtf (формат текстовых файлов), htm (формат Web – страниц). Создать новые файлы можно используя команду Создать подменю Файл или используя пиктограмму на панели инструментов Стандартная.
Открытие файла осуществляется через команду Открыть подменю Файл.
Ввод данных и получение результата.
К основным типам данных, с которыми можно работать в системе MathCAD, относятся: действительные и комплексные числа, константы, строки, матрицы, векторы, массивы, ранжированные переменные. В зависимости от формата действительные числа могут быть представлены как целые, дробные и десятичные числа и числа с порядком. Действительные числа могут содержать не более 15 символов.
К комплексным числам относятся логарифмы, интегралы, корни различных степеней.
К математическим константам относятся число «пи», е (основание натурального логарифма), I (мнимая единица), %.
Вычисления
В MathCAD все арифметические операции осуществляются или с помощью операторов или встроенных функций. В соответствии с выполняемыми функциями все операторы можно разделить на следующие группы:
Операторы выражения - содержат операторы численного вывода «=», операторы присваивания «:=», операторы символьного вывода «», операторы глобального присваивания «». Операторы данной группы располагаются на математической панели Оценка
Арифметические операторы – содержат операторы сложения и вычитания, умножения и деления, модуль числа, квадратный корень и корень произвольной степени, факториал «!», оператор обратной величины «1/х», квадрат числа и произвольной степени числа, оператор смешанной дроби, оператор изменения приоритета (скобки), линейный оператор деления «». Эти операторы расположены на математической панели Калькулятор.
Вычислительные операторы – служат для выполнения операций математического анализа и содержат операторы производной n-ой степени, определенного и неопределенного интеграла, суммы рядов, бесконечного произведения, ранжирования сумм, пределов. Операторы расположены на математической панели Исчисления.
Матричные операторы используются для матричного и векторного преобразования. Матричные вычисления можно условно разделить на три основных типа. К первому типу относятся операции умножения, сложения или скалярного произведения для векторов. Для их реализации используются математические панели Калькулятор и Матрица. Ко второму типу относятся матричные преобразования, которые используют специальные функции и строенные алгоритмы матричной алгебры. К третьему типу матричных вычислений относятся вычисления с помощью программирования.
Логические операторы расположены на математической панели Логические и к ним относятся операторы равенства «=», «<», «>», «≥», «≤», «≠», «» (логическое И), «» (логическое ИЛИ), «» (исключающее ИЛИ), «» (отрицание).
Символьные операторы служат для выполнения аналитических преобразования, таких как упрощение выражения, разложение на множители, замена переменных и т.д. Расположены символьные операторы на панели Символика.
Операторы программирования расположены на панели Программирования и используются для создания собственных алгоритмов решения задач.
Объекты исследования, оборудование, материалы и наглядные пособия
Для выполнения лабораторных работ необходим персональный компьютер класса Pentium, система автоматизированного проектирования MathCAD 2001.
Задание на работу
Изучить теоретические положения, алгоритм создания формул и выполнения вычислений и самостоятельно выполнить задание в соответствии с вариантом.
Варианты задания.
Вычислить значение функции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
)
16.
17.
18.
Порядок выполнения работы
Создание формул, ввода данных и получение результата.
Пример № 1.
Вычислить значение функции
1. Активировать математическую панель инструментов Калькулятор
2. Выбрать знак натурального логарифма ln
3. В скобках ввести выражение x+y
4. Для того чтобы создать в скобках дробь нужно выделить выражение x+y, нажав клавишу пробела, а затем или выбрать на панели знак «/» или ввести его вручную
5. В знаменателе ввести 5+y
6. Для выделения всего выражения натурального логарифма нажмите три раза клавишу пробела
7. На панели инструментов выбрать
заготовку
и ввести нужное выражение
8. Для выделения всего выражения нажать 2 раза клавишу пробела
9. На панели инструментов выбрать
заготовку
и ввести нужную степень.
10. Выйти из формулы, щелкнув в любом месте рабочей области.
11. Перед выражением определить переменные и их значения. Сначала вводится имя переменной (в нашем примере х), затем знак присвоения значения «:=» (или используя панель инструментов или вручную) и само значение переменной
12. Аналогично ввести значение переменной y.
13. Перейти в формулу и ввести знак «=».
14. Создать комментарии к формуле. Для этого нужно использовать команду Текстовая область подменю Вставка. При этом после появления специальной рамки нужно выбрать на панели Форматирование тип шрифта Times New Roman Cyr. После этого ввести нужный текст комментария. Если необходимо переместить текст (формулу), для этого выделяется объект (формула, текст) и при появлении «ручки» объект перемещается в любую точку рабочей области.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12. СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Цель и задачи работы
Цель работы заключается в исследовании основных способов символьных вычислений в MathCAD.
К задачам работы относится изучение символьных вычислений, основные алгебраические преобразования, такие как упрощение выражения, разложение на множители, приведение подобных слагаемых.
Общие положения
MathCAD реализует два принципиально различающихся подходов к вычислениям. Это численные вычисления и символьные. Работа с численными вычислениями была проведена в лабораторной работе № 1. В отличие от численных вычислений символьные вычисления более точны, но более сложны в реализации. Некоторые выражения можно просчитать как символьно так и численно. Чтобы система могла определить, по какому типу следует проводить расчет, существует 2 различных оператора вывода. Для численного расчета это оператор «=», для символьного расчета оператор вывода имеет вид стрелки «->» и ввести ее можно с панели инструментов Оценка или Символика. Панель инструментов Символика вызывается через пункт меню Вид/Панели инструментов. Никаких различий в технике использования этих операторов нет.
Объекты исследования, оборудование, материалы и наглядные пособия
Для выполнения лабораторных работ необходим персональный компьютер класса Pentium, система автоматизированного проектирования AutoCAD 2000.
Задание на работу
Изучить теоретические положения, алгоритмы выполнения символьных вычисления и самостоятельно выполнить задание в соответствии с вариантом.
Варианты задания.
1. Выполнить символьные вычисления в соответствии с примерами из теоретических положений.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
2. Решить систему уравнений
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Порядок выполнения работы
Пример № 1.
Вычислить значение интеграла
, используя численные и символьные
методы.
1. Активировать математическую панель инструментов Калькулятор, Исчисления и Символика
2. Выбрать знак определенного интеграла
3. Ввести подинтегральное выражение
4. Чтобы получить расчет при помощи численного метода, ввести знак «=».
5. Скопировать интегральное выражение
6. Для вычисления символьным способом на панели инструментов Оценка выбрать знак «->»
7. Выйти из формулы, щелкнув в любом месте рабочей области.
Также можно осуществить необходимое символьное преобразование при помощи команд пункта меню Символика. Для этого нужно:
1. Ввести выражение.
2. В зависимости от того, какой тип символьных операций должен быть применен к введенному выражению, необходимо выделить либо переменную (если надо использовать, например, команду решения уравнений или разложения в ряд), либо все выражение целиком (для команд символьной алгебры).
3. Нажать необходимую команду.
Пример 2.
Проинтегрировать, разложить в ряд,
дифференцировать, преобразовать в ряд
Фурье выражение
1. Ввести выражение
2. Курсор должен быть расположен рядом с переменной, по которой происходит интегрирование.
3. В меню Символика выбрать пункт Переменная/Интегрирование
4. Для разложения в ряд использовать пункт меню Символика/ Переменная/ Расширить в серии. Ввести цифру 2
5. Для упрощения выражения использовать пункт мню Символика/Переменная/Дифференцировать
6. Для преобразования в ряд Фурье использовать пункт меню Символика/Трансформация/Фурье
Для решения уравнений используется специальный оператор Solve (Решить) одноименной команды панели инструментов Символика. Алгоритм решения следующий:
1. Ввести оператор Solve
2. В левом маркере задать вид решаемого уравнения. В качестве знака равенства следует использовать логическое равенство (знак «->»). Также в левый маркер можно внести и имя функции.
3. В правый маркер внести переменную, относительно которой должно быть решено уравнений.
Пример 3.
Решить
уравнение с одной переменной
1. Ввести выражение
2. Ввести оператор Solve
3. В левую часть ввести y.
4. В правую часть ввести x
5. В любом месте рабочей зоны щелкнуть левой клавишей мыши
Пример 4.
Решить
уравнение с несколькими переменными
Действия аналогичны примеру 3.
Пример 5.
Решение
системы уравнений
1. Наберите слово Given
2. Строго под вводным словом задайте систему уравнений. В качестве знаков равенства следует использовать логическое равенство (математическая панель инструментов Логические).
3. Введите либо с клавиатуры, либо с использованием пункта меню Вставка/Вставить функцию/Solving функцию решения систем уравнений find(x,y). В скобках через запятую задайте переменные в том порядке, в котором должны быть расположены в ответе соответствующие им корни.
4. В качестве оператора вывода используйте знак «->».
Рассмотрим примеры символьных преобразования таких как упрощение, разложение выражения, разложение на множители.
Пример 6.
Упростить
выражение
1. Ввести выражение
2. Вызвать пункт меню Символика/ Упростить
Пример 7.
Разложить
выражение
1. Ввести выражение
2. Из математической панели инструментов Символика выбрать оператор Expand и через запятую переменную, по которой будет происходить разложение
Пример 8.
Разложить
выражение
на множители
1. Ввести выражение
2. Из математической панели инструментов Символика выбрать оператор Factor.
3. Удалить правую часть оператора Factor.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13. ГРАФИКИ
Цель и задачи работы
Цель работы заключается в исследовании особенности задания графиков функций, основные способы построения, редактирования и форматирования графиков..
К задачам работы относится изучение построение двухмерных и трехмерных графиков.
Общие положения
Все основные типы графиков и инструменты работы расположены на математической панели Графики или в меню Вставка/ Графики. MathCAD реализует различные типы графиков, но все они основаны на основных типах: график кривой в двухмерной декартовой системе координат, график кривой в полярной системе координат, график поверхности, контурный график, график 3D разброса, график 3D полос (трехмерная диаграмма), векторный график.
Двухмерные графики
Перед построением графика для упрощения работы можно задать значение функции, а также диапазон значений переменной. В MathCAD существуют несколько способов задания кривых в декартовой системе координат. Но независимо от типа графика и способа задания, сначала необходимо ввести графическую область. Ввести графическую область можно либо с панели Графики, либо командой одноименного подменю Вставка. Графическая область представляет собой две вложенные рамки. Во внутренней отображаются непосредственно кривые зависимостей. Пространство между рамками служит для визуализации разного рода служебной информации.
После того как графическая область будет введена, в общем случае требуется задать два соизмерных вектора, определяющих значение координат точек. Сделать это можно различными способами. Наиболее простым и используемым методом задания координатной сетки является быстрый метод:
1. Ввести графическую область
2. В специальном маркере, расположенном под внутренней рамкой графической зоны, задать имя переменной
3. В маркер, расположенный слева от внутренней рамки, ввести функции, или имя функции
Для изменения величины промежутка отображения графика используется следующая процедура
1. Выделить графическую зону щелчком левой кнопки мыши и вызуализировать все скрытые элементы.
2. Непосредственно под крайними значениями (для оси абсцисс) или слева от них (для оси ординат) появятся цифры, отражающие максимальные и минимальные величины координат узловых точек графика.
3. Для изменения удалите старые величины и введите новые.
Другой способ задания векторов значений – использование ранжированной переменой.
1. Ввести имя переменной вместе с оператором присваивания
2. Задать левую границу интервала построения и поставить запятую
3. Ввести оператор ранжирования переменной (использовать математическую панель инструментов Матрица/диапазон переменных)
4. В левом маркере введенного оператора задать вторую точку на промежутке (шаг изменений)
5. В правый маркер ранжированной переменной ввести значение правой границы на интервале.
В MathCAD на одну графическую область можно поместить до шестнадцати кривых. Чтобы добавить к уже имеющемуся графику еще один, нужно выполнить следующие действия:
1. Поставить курсор справа от выражения, определяющего координаты последнего ряда данных по оси ординат (предварительно выделив его)
2. Нажать клавишу [,]. При этом курсор опустится на строку ниже, и появится чистый маркер
3. В появившейся маркер ввести выражение для новой функции или имя функции (предварительно она должна быть введена)
Чтобы добавить новые кривые, действия аналогичны вышеперечисленным.
Для форматирования шкалы графика нужно внести изменения в вид координатных осей вашего графика с помощью специальной закладки Оси X и Y диалогового окна Форматирование выделенного X-Y графика. Открыть данное окно можно тремя стандартными способами:
1. Выполнив двойной щелчок левой клавишей мыши по области графика
2. Выполнив команду Формат, График, X-Y график
3. Воспользоваться пунктом контекстного меню графика Формат
Для настройки вида осей можно использовать следующие параметры:
Журнал - используется для логарифмезации координаты по форматируемой оси. Координаты будут прологарифмированы (по десятичному логарифму)
Сетка – позволяет активизировать вспомогательные линии для построения графика
Нумерация – параметр отвечает за отражение нумерации шкалы
Автошкала – используется для автоматического выбора диапазона изменения оси.
Показать маркеры – используется для выделения важных точек с помощью линий
Автосетка – позволяет автоматически выбрать число разбиений форматируемой оси.
Для отдельного форматирования каждой оси достаточно дважды щелкнуть левой клавишей мыши по выбранной оси.
В диалоговом окне также можно установить параметры стиля осей. Для этого используются следующие параметры:
Коробкой – оси пересекаются в наименьших точках диапазона.
Пересечение – оси пересекаются в точке (0,0)
Нет – график отображается без осей
Одинаково – разбиение осей производится в равном масштабе.
Для форматирования графиков используется закладка Следы диалогового окна Форматирование выделенной декартовой X-Y плоскости, которое вызывается с использованием контекстного меню Формат. Главным элементом закладки Следы является список, содержащий 16 строк. Каждая строка отвечает за отображение одного ряда данных. Каждая строка данных содержит шесть пунктов настройки:
Метка легенды – имя набора параметров, описывающих отображения зависимости на графике. Если отключить параметр Скрыть Легенду, то на служебной зоне графической области появятся специальные строки с текстом легенды и фрагментом линии, при помощи которой визуализируется соответствующая ей кривая.
Символ – параметр, который отображает узловые точки графика. Символов таких пять: x’s – точки отображаются в виде латинской буквы x; +’s – в качестве символа узловой точки отображается знак +; box – точки отображаются в виде квадратов; dmnd – точки отображаются в виде алмаза; o’s – точки отображаются кружками.
Линия – параметр определяет, линией какого типа будет прочерчена зависимость. Сего таких типов четыре: Solid (сплошная) – кривая отображается сплошной линией; Dot (пунктир) – кривая отображается пунктирной линией; Dfsh (штрих) – график отображается штриховой линией; Dator – линия отображается штрих -пунктиром.
Цвет – параметр определяющий цвет линий и точек.
Тип – параметр, определяющий тип представления ряда данных. Таких типов – восемь: lines – график в виде обычной кривой; points – точечный график; bar – график в виде столбчатой диаграммы; step – график в виде шаговой гистограммы; Stem – график в виде стержневой диаграммы; error – график с отложенной погрешностью; draw – кривая отображается между узловыми точками.
Толщина – параметр определяет толщину линий и величину символов точки. Может меняться от 1 до 9. Значение параметра определяется тем, во сколько раз задаваемая линия толще минимального уровня.
Для того, чтобы озаглавить график, нужно использовать закладку Метки диалогового окна Форматирование выделенной декартовой X-Y плоскости контекстного меню Формат. Строка метки осей служит для задания подписей к осям. Текст подписи будет отображен в том случае, если в окошках возле строк ввода текста поставлен флажок.
Графики с полярными координатами
Задание графиков в полярной системе координат не имеет отличия от создания графиков в декартовой плоскости. Как в случае X-Y зависимостей, для полярного графика существуют два основных метода построения: быстрый способ построения и использование ранжированных переменных. Для внесения изменений в вид системы координат или кривых нужно обратиться к диалоговому окну Форматирование выделенного полярного графика контекстного меню Формат.
3D графики
Как и в случае построения двухмерных графиков существуют два способа задания графиков: быстрый и с применением метода ранжирования переменных. Для задания 3D графиков быстрым способом нужно выполнить следующие действия:
1. ввести графическую область 3D графика. Это можно сделать тремя способами: нажав кнопку Поверхность панели Графика, использовать команду меню Вставка График/график поверхности или при помощи сочетания клавиш Ctrl+2.
Графическая область поверхности должна иметь один маркер для определения вида функции.
2. После того как графическая область будет введена, следует в маркере ввести имя функции (без указания переменных).
Для форматирования параметров графика быстрого построения существует специальная закладка Quick Plot Data диалогового окна, которое вызывается с помощью контекстного меню Формат или двойным щелчком мышью по графической области. Эта закладка содержит следующие параметры настройки: Range 1 и Range 2 (Ряд 1 и Ряд2) – указывают начальные и конечные точки прямоугольника построения по осям и число линий сетки. Также на этой закладке находятся параметры установки системы координат: Cartesian (декартова) – график отображается в декартовой системе координат; Spherical (сферическая) – график отображается в сферической системе координат; Cylindrical (цилиндрическая) 0 график отображается в цилиндрической системе координат.
Для форматирования 3D графиков существует специальное диалоговое окно 3D-Plot Format.
Задание на работу: Изучить теоретические положения, алгоритмы выполнения построения графиков и самостоятельно выполнить задание в соответствии с вариантом.
Варианты задания.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
2. Построить для каждого из уравнений графики
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Порядок выполнения работы
Выполнить построение графиков (двухмерных и 3D графиков) в соответствии с вариантами заданий. Отформатировать полученные графики.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 14. МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Цель и задачи работы
Цель работы заключается в исследовании особенности использования матричных вычислений, основные приемы и методы обработки матриц.
К задачам работы относится изучение задания матриц и операций на ними.
Общие положения
Матричные вычисления в MathCAD можно условно разделить на три основных типа: действия над матрицами (умножение, сложение или скалярное произведение), матричные преобразования (функция вычисления матричных норм или сортировка элементов векторов), и матричные вычисления с использованием приемов программирования.
Для задания матриц можно использовать несколько способов:
1. Задание матриц через использование меню Вставка/ Матрица или панель инструментов матрица. В появившемся окне указывается количество строк и столбов, а затем в появившемся шаблоне вводятся значение элементов матрицы. Чтобы определить значение какого-то матричного элемента, нужно ввести имя матрицы с соответствующими индексами (номер строки и столбца, на пересечении которых находится элемент) и поставить «=» (или «->»).Для задания индексов на панели Матрица имеется специальная кнопка Нижний индекс. В него через запятую нужно ввести значение индексов. Матричные индексы в MathCAD по умолчанию отсчитываются с 0. Чтобы изменить отсчет нужно открыть окно Math Option (меню Математика/ Опции) и на вкладке Встроенные переменные внести изменения в величину параметра Origin (точка отсчета).
2. Определение матрицы последовательным заданием каждого элемента. В этом случае сначала задаются отдельные элементы матрицы со знаком :=, а затем использовать панель Матрица/Вставить матрицу.
3. Задание матрицы с использованием ранжированных переменных.
В этом случае нужно знать каким выражением связать индексы и величины ее элементов. Для начала нужно ввести имя переменной (имя индексов верхнего и нижнего) и оператор присваивания. Затем выбрать команду Диапазон переменных панели Матрицы и ввести диапазон значений элементов матрицы (количество элементов по строкам и столбцам). После всего ниже ввести имя матрицы со знаком «=».
4. Задание матрицы в виде таблицы. Для этого нужно использовать меню Вставка/Компонент и выбрать из списка строку Input table. В появившемся шаблоне нужно ввести имя матрицы, а в ячейки ввести значения элементов матрицы. После ввода ниже ввести имя матрицы со знаком «=».
В MathCAD можно установить тип отображения матриц. Если нужно матрицу представить в виде обычной матрицы или в виде таблицы, то выбирается пункт меню Формат / Результат и вкладка Опции отображения окна Формат результата. В этом окне надо выбрать наиболее подходящий тип отображения и нажать Ок.
Операции с матрицами.
Для реализации действий над матрицами служат операторы двух рабочих панелей: Калькулятор и Матрица.
К матрице можно прибавлять (или отнимать) любое число. В результате получается матрица, соизмеримая исходной. Эту операцию можно производить и символьными числами, но при этом вместо знака «=» используется оператор символьного вывода «->».
Матрицу можно умножать (делить) на скаляр или выражение. Скаляр можно представить в виде буквы или в виде выражения. Однако при этом надо правильно выбрать оператор вывода.
Для сложения или вычитания матриц используются символы «+» и «-«, которые помещаются между соответствующими матрицами (или именами матриц). К каждому элементу первой матрицы прибавляется (вычитается) элемент второй матрицы. Результатом будет третья матрица, элементы которой являются суммой (разностью) соответствующих элементов суммируемых (вычитаемых) матриц.
Матричное умножение выполняется следующим образом: все элементы первой строки (нулевой, если отсчет начинается с нуля) первой матрицы умножаются на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы. Полученное значение определяется как первый элемент первой строки матрицы – результат. И так далее – до тех пор, пока не будут перемножены все строки. Так при умножении матрицы размерностью NxM на матрицу размерностью MxK будет получена матрица размерностью NxK. Умножение возможно только в том случае, если количество строк первой матрицы равно количеству столбцов второй матрицы. Перемножить матрицы можно либо используя клавишу *, или при помощи команды Умножение панели Матрица. Перемножить матрицы можно и в том случае, когда элементы представлены символами или выражением.
Транспонирование матриц (операция, переводящая матрицу размерностью MxN в матрицу размерностью NxM) осуществляется с помощью команды Транспонировать панели инструментов Матрица. Транспонирование можно провести и для матриц, элементы которой представлены символически.
Задание на работу
Изучить теоретические положения, алгоритмы выполнения матричных вычислений и самостоятельно выполнить задание (умножение, деление, сложение, вычитание матрицы с скаляром, умножение или сложение матриц, транспонирование матриц) в соответствии с вариантом.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Порядок выполнения работы
Представить системы уравнений в виде матриц и выполнить операций над матрицами.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 15.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА)
Цель и задачи работы
Цель работы заключается в исследовании метод решения задач линейного программирования на примере транспортной задачи с использованием MathCAD..
К задачам работы относится изучение семантического аппарата MathCAD при решении задач линейного программирования.
Общие положения
Разновидностью задача линейного программирования являются транспортные задачи. Примерами таких задач можно назвать такие как: назначение людей на работы, распределение ресурсов, составление графика движения грузов и т.д.
Решение таких задач рассмотрим на следующем примере.
Допустим, требуется транспортировать груз одного вида (песок, щебень), находящийся у двух поставщиков А1 и А2 в три пункта назначения В1, В2 и В3. Стоимость транспортировки обозначим С11, С12, С13, С21, С22, С23. У каждого поставщика есть некоторый запас груза Р1, Р2. Каждый потребитель характеризуется своим спросом на товары, который будем называть заявкой З1, З2, З3. Требуется определить, какое количество груза х11, х12, х13 (число единиц груза, который 1-ый поставщик должен отправить 1, 2 и 3 потребителям), х21, х22, х23 (число единиц груза, который 2-ой поставщик должен отправить 1, 2 и 3 потребителям) следует отправить от каждого поставщика каждому потребителю, чтобы суммарные транспортные расходы были минимальны.
Условие задачи сведем в таблицу.
Поставщик |
Потребитель |
Запасы |
||
А |
В1 |
В2 |
В3 |
Р |
А1 |
С11 Х11 |
С12 Х12 |
С13 Х13 |
Р1 |
А2 |
С21 Х21 |
С22 Х22 |
С23 Х23 |
Р2 |
Заявки |
З1 |
З2 |
З3 |
З |
Суммируя переменные по строкам можно записать:
Для 1-го поставщика
Для 2-го поставщика
Суммируя по столбцам, получим уравнение для потребителей
Объединяя условия для поставщиков и потребителей систему из пяти уравнений и шести неизвестных.
На основе этих данных составим
математическую модель транспортной
задачи: для случая, когда сумма запасов
равна сумме заявок
где i – номер поставщика;
j – номер потребителя;
- стоимость транспортируемого груза от
i-го поставщика j-му
потребителю;
- запасы i-го поставщика;
- заявка j-го потребителя.
Такая транспортная задача, в которой сумма всех запасов равна сумме всех заявок, называют сбалансированной. Если же нет равенства запасов и заявок, то задача является несбалансированной и ее математическая модель будет иметь вид:
С помощью таких моделей можно решать не только задачи перевозки грузов, назначения людей на работы, но и задачи в которых надо распределить различные ресурсов (финансовые, материальные и др.)
Рассмотрим решение таких задач:
1. Составляется таблица, в которой неотрицательные переменные размещаются таким образом, чтобы суммы по строкам и столбцам совпадали с указанными правыми частями ограничений.
2. Применяя правило "самая дешевая продукция реализуется первой" находят наименьший коэффициент и заменяют его на значение заявки (строка) или запаса (столбца) в зависимости от того, где значение меньше.
3. Затем столбец или строку вычеркивают, уменьшая значение запасов ил резервов на значение в клетке.
4. Процедура повторяется к оставшимся клеткам, до тех пор пока значения по всем строкам и столбцам будет равна 0 (в случае сбалансированной задачи).
В результате решения получаем значения m+n-1 переменных. Подставляя значения этих переменных в целевую функцию получим оптимальное значение.
Задание на работу
Изучить теоретические положения, алгоритм решения транспортной задачи и самостоятельно выполнить задание в соответствии с вариантом.
Варианты задания.
Составить математическую модель для решения транспортной задачи и решить ее:
Вариант 1.
Фирма должна отправить некоторое количество изделий с трех складов пяти потребителям. На складах имеется соответственно 15, 25, 20 тыс. шт. изделий, а для потребителей требуется соответственно 20, 12, 5, 8, 12 тыс. шт. изделий. Стоимость перевозки одной тысячи шт. со склада потребителю приведена в таблице. Как следует спланировать перевозку изделий для минимизации стоимости.
Склад |
Потребитель |
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
С1 |
1 |
0 |
3 |
4 |
2 |
С2 |
5 |
1 |
2 |
3 |
3 |
С3 |
4 |
8 |
1 |
4 |
3 |
Вариант 2.
Сталеплавильная компания располагает тремя заводами, способными произвести за некоторый промежуток времени 50, 30, 20 тыс. тон стали соответственно. Свою продукцию компания поставляет четырем потребителям, потребности которых составляют 12, 15, 25, 36 тыс. т стали соответственно. Стоимость производства и транспортировки 1 тыс. т стали с различных заводов различным потребителям приведены в таблице:
Определите минимальную общую стоимость, объемы производства на каждом заводе и планы перевозок.
Потребитель |
Завод |
||
М1 |
М2 |
М3 |
|
С1 |
15 |
19 |
14 |
С2 |
19 |
18 |
16 |
С3 |
19 |
18 |
20 |
С4 |
15 |
19 |
18 |
Вариант 3.
Компания владеет тремя фабриками, способными произвести 50, 25, 5 тыс. изделий ежедневно. Она заключила договора с четырьмя заказчиками, которым требуется ежедневно 15, 20, 20, 30 тыс. изделий. Стоимость производства и транспортировки 1 тыс. изделий заказчикам с фабрик приведены в таблице. Определить минимальную общую стоимость, объемы производства и распределения для каждой фабрики.
Фабрика |
Заказчик |
|||
С1 |
С2 |
С3 |
С4 |
|
F1 |
13 |
17 |
17 |
14 |
F2 |
18 |
16 |
16 |
18 |
F3 |
12 |
14 |
19 |
17 |
Вариант 4.
Компания владеет двумя фабриками, производящими электронное оборудование. Фабрики в течение некоторого периода выпускает 16 и 12 тыс. изделий соответственно. Компания снабжает трех потребителей, потребности которых в течении одного и того же периода составляют соответственно 10, 13, 7 тыс. изделий. Стоимости перевозок 1 тыс. изделий потребителю с фабрик приведены в таблице. Требуется найти оптимальный план производства и распределения.
Фабрики |
Потребитель |
||
С1 |
С2 |
С3 |
|
F1 |
5 |
4 |
6 |
F2 |
6 |
3 |
2 |
Вариант5.
Фирма предложила владельцам трех авиалиний перевозить бригады специалистов в различные части света. Стоимость перевозок приведена в таблице. Администрация фирмы решила, что индивидуальные контракты на перевозку будут заключаться с владельцами I, II, III в отношении 2:3:2 и уведомила об этом управляющего транспортными перевозками, а также известила его о том, что из 70 намеченных на следующий год перевозок 10 - в Сидней, 15 - в Калькутту, 20 - в Бейрут, 10 - в Даллас, 15 - в Сан-Паулу . Требуется найти распределение индивидуальных контрактов на перевозки для минимизации общей стоимости при условии удовлетворения запросов администрации фирмы.
Авиалиния |
Города |
||||
Сидней |
Калькутта |
Бейрут |
Даллас |
Сан-Паулу |
|
I |
24 |
16 |
8 |
10 |
14 |
II |
21 |
15 |
7 |
12 |
16 |
III |
23 |
14 |
7 |
14 |
12 |
Вариант 6.
Четыре сталелитейных завода производят еженедельно 950, 300, 1350, 450 т стали определенного сорта. Стальные болванки должны быть переданы пяти потребителям, еженедельные запросы которых составляют соответственно 250, 1000, 700, 650, 450 т стали. Стоимость транспортировки от заводов к потребителям в тоннах приведена в таблице. Какой нужно составить план распределения стальных болванок, чтобы минимизировать общую стоимость.
Завод |
Потребитель |
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
I |
12 |
16 |
21 |
19 |
32 |
II |
4 |
4 |
9 |
5 |
24 |
III |
3 |
8 |
14 |
10 |
26 |
IV |
24 |
33 |
36 |
34 |
49 |
Вариант 7.
Компания владеет тремя заводами. Соответствующие стоимости производства равны 26, 23, 22 на единицу, объем производства 6000, 3000, 3000 единиц. Компания обязалась поставлять соответственно 1500, 2500, 2700, 3300 единиц в четыре города. При заданных стоимостях перевозок (см. таблицу) составьте оптимальные планы производства и распределения.
Город |
Стоимость транспортировки |
||
С1 |
С2 |
С3 |
|
G1 |
1 |
9 |
6 |
G2 |
4 |
2 |
1 |
G3 |
1 |
2 |
7 |
G4 |
9 |
8 |
3 |
Вариант 8.
Некоторый продукт производится на двух заводах и распределяется между двумя пользователями. Их потребности на ближайшие два месяца, стоимость производства единицы продукта и объем производства по плану за два месяца, стоимость транспортировки продукта с заводов потребителям приведены в таблице. Требуются оптимальные планы производства и распределения.
Пользователь |
Потребитель |
|
Август |
Сентябрь |
|
1 |
420 |
550 |
2 |
350 |
480 |
Завод |
Пользователь |
|||
Август |
Сентябрь |
Август |
Сентябрь |
|
1 |
3 |
3,6 |
500 |
600 |
2 |
3,2 |
2,9 |
300 |
500 |
Завод |
Пользователь |
|
1 |
2 |
|
1 |
10 |
13 |
12 |
6 |
480 |
Вариант 9.
С 4 складов необходимо отправить 6-ти потребителям груз. Запас груза на 1-ом складе - 9 единиц, на 2-ом - 14 единиц, на 3-ем - 16 единиц, на 4-ом - 11. Первому потребителю требуется 6 единиц груза, 2-му - 4 единицы, 3-му - 10 единиц, 4-му - 13 единиц, 5-му 7 единиц, 6-му - 10 единиц. Стоимость транспортировки сведена в таблицу. Требуется так распределить груз, чтобы суммарные транспортные расходы были минимальны.
2 |
9 |
3 |
10 |
8 |
7 |
3 |
2 |
6 |
3 |
5 |
2 |
1 |
8 |
2 |
4 |
1 |
5 |
4 |
8 |
7 |
6 |
6 |
6 |
Порядок выполнения работы
Рассмотрим конкретный пример:
Поставщик |
Потребитель |
Запасы
|
||
1 |
2 |
3 |
||
1 |
7
|
9
|
21
|
100 |
2 |
20
|
15
|
16
|
200 |
Заявки |
80 |
130 |
90 |
300 300 |
Математическая модель будет следующего вида:
искомых переменных будет 2=3-1=4
В результате получим следующие оптимальные значения переменных
а искомое значение стоимости перевозки:
СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
Отчет оформляется на листах формата А4 (297х210 мм) без рамки. Текст размещается на одной стороне листа. На листе оставляют поля: слева - 30 мм, справа - 10 мм, сверху - 15 мм, снизу -20 мм. На странице должно быть не менее 30 строк. Начиная со второго, все листы нумеруют в правом нижнем углу арабскими цифрами без дополнительных знаков. На титульном листе номер не ставят. Иллюстрации и приложения также должны быть пронумерованы.
Обязательные элементы записки должны располагаться в такой последовательности:
а) титульный лист;
б) название лабораторной работы;
в) цель и задачи работы;
г) задание на работу;
д) результаты выполнения работы.