46. Монотонність і скінченність методу потенціалів
Кожний новий опорний план надає меншого у зіставленні з попереднім планом значення цільової функції Z, тобто за невироджених опорних планів метод потенціалів уможливлює строго монотонне зменшення значення цільової функції транспортної задачі. Доведемо, що це положення справджується в загальному випадку.
Нехай план 
знайдено
з плану 
однією
ітерацією методом потенціалів; при
цьому було використано цикл (позначимо
такий набір клітин через К), утворений
клітинами з такими індексами:
та
приєднаною клітиною 
,
для якої спостерігалось найбільше
порушення умови оптимальності плану
транспортної задачі 
.
З першої теореми двоїстості для транспортної задачі маємо:
.
Враховуючи останнє
рівняння, встановимо зв’язок між
послідовними значеннями цільової
функції 
і 
,
що відповідають опорним планам
та
:
.
Перша сума правої частини — перевезення, які не були включені в цикл К, друга сума поширюється на ті значення перевезень, де віднімалась вибрана величина q, третя сума і останній доданок охоплюють клітини, де початкове значення було збільшене на величину q. Тобто:
(5.26)
Враховуючи додатність
величини q у
разі невиродженості плану і від’ємне
значення виразу в дужках (
),
висновуємо, що 
.
Цим і доведена строга монотонність
алгоритму, яка у разі виродженості плану
не є строгою, оскільки величина q може
дорівнювати нулю. Скінченність алгоритму
випливає з його монотонності і скінченності
кількості опорних планів задачі; однак
це є обґрунтованим лише для невироджених
задач, а у разі виродження, коли строга
монотонність не є безумовною, теоретично
можливе зациклення алгоритму так само,
як це може мати місце у разі застосування
симплексного методу.