42. Випадок виродження опорного плану транспортної задачі

Опорний план транспортної задачі, як зазначалося раніше, має містити не більше ніж (m + n – 1) відмінних від нуля компонент. Якщо їх кількість дорівнює (m + n – 1), то такий опорний план називають невиродженим. Якщо ж кількість додатних компонент менша ніж (m + n – 1), то опорний план є виродженим. Вироджений план може виникати не лише за побудови опорного плану, але і при його перетвореннях у процесі знаходження оптимального плану.

Найчастіше, щоб позбутися виродженості опорного плану, в деякі клітини таблиці транспортної задачі в необхідній кількості вводять нульові постачання. Обсяги запасів постачальників і потреби споживачів після цього не змінюються, однак клітини зі значенням «нуль» вважаються заповненими.

Головною умовою при введенні нульової поставки є збереження необхідної і достатньої умови опорності плану транспортної задачі — його ациклічності. Клітина має вибиратись у такий спосіб, щоб неможливо було побудувати замкнений цикл.

43. Методи розв’язування транспортної задачі

44. Задача, двоїста до транспортної

Побудуємо двоїсту задачу до збалансованої транспортної задачі. З цією метою знову розглянемо її обмеження у розгорнутому вигляді

Зауважимо, що перші m рівнянь цієї системи відносяться до рядків транспортної таблиці, наступні n− до її стовпчиків. Поставимо у відповідність кожному рівнянню системи (2.25) двоїсту змінну. Двоїсті змінні вільні за знаком, оскільки вони відповідають рівнянням-обмеженням (2.25) прямої задачі. При цьому двоїсту змінну, яка відповідає рядку транспортної таблиці з номером (i=l,m) позначимо як uᵢ і назвемо потенціалом цього рядка, а двоїсту змінну, яка відповідає стовпчику транспортної таблиці з номером j(j= n,1)позначимо як vᵢ і назвемо потенціалом цього стовпчика. Вектор потенціалів позначимо через

Тому двоїста для неї запишеться так

Оскільки обмеження на знак двоїстих змінних відсутні, то вектор потенціалів завжди можна вибрати у вигляді . Тоді двоїста задача до Т-задачі матиме вигляд

Надалі ми будемо використовувати саме таку форму запису двоїстої задачі до збалансованої транспортної задачі.

45. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі

У методі потенціалів кожному рядку i і кожному стовпцю j транспортної таблиці ставляться у відповідність числа (потенціали) uᵢ i uj. Для кожної базисної змінної xᵢj потенціали) uᵢ i uj задовольняють рівнянню: uᵢ + uj = cᵢj. Щоб знайти значення потенціалів з цієї системи рівнянь, потрібно присвоїти одному з них довільне значення (зазвичай вважають u1=0). і потім послідовно обчислювати значення інших потенціалів. Далі, використовуючи знайдені значення потенціалів, для кожної небазисной змінної обчислюються величини: uᵢ + uj = cᵢj. Якщо всі ці числа є недодатними то опорний план є оптимальним і розв'язування на цьому завершується. В іншому випадку знаходиться найбільше додатне значення і відповідна йому змінна вводиться в базис. Для визначення змінної, що виводиться з базису будується послідовність: xᵢj→xᵢ1j1→xᵢ2j2 →….. xᵢj, де xᵢj — змінна, що вводиться в базис, а всі інші змінні є базисними. Окрім цього в цій послідовності при переході на кожному етапі одна координата залишається незмінною і якщо при певному переході незмінною була перша координата, то на наступному незмінною буде друга. Якщо зображувати перехід між змінними на транспортній таблиці стрілками між відповідними клітинами це означає, що переходи можуть бути лише вертикальними чи горизонтальними, але не діагональними, і також після горизонтального переходу має йти вертикальний і навпаки. Після побудови послідовності xᵢj→xᵢ1j1→xᵢ2j2 →….. xᵢj, можна записати значення відповідних змінних і знайти мінімальне значення серед чисел, що стоять на непарних позиціях. Наступним кроком це число слід додати до всіх змінних, що стоять на парних позиціях і відняти від всіх змінних, що стоять на непарних. Змінна якій відповідало найменше число виводиться з базиса. У такий спосіб одержується новий опорний план і до нього можна знову застосувати ті ж дії.