Вопрос №1.Перестановка, размещение и сочетание без повторений

Одно и то же множество можно упорядочить различными способами. Например, множество студентов группы можно упорядочить по возрасту, росту, алфавиту, успеваемости… Множества всех перестановок из n элементов будем обозначать

Теорема. Число различных перестановок из n элементов определяется по формуле: P=1*2*3*…*n=n! (n- факториал)

4!=1*2*3*4=24

Считают ,что 0!=1

Задача. Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 01234,если ни одна НЕ должна повторяться дважды?

=1*2*3*4*5=120

Из 120 вычтем числа, которые начинаются на 0(т.е. 4-хзначные числа).Для этого цифру 0 закрепим на 1 месте и останется выяснить сколько 4-хзначных чисел можно составить из 1234; =1*2*3*4=24

120-24=96

Всякое упорядоченное k-элементное подмножество n элементов множества (k≤n) называется размещением из n-элементов по k.

Два размещения считаются различными, если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или состоят из одних и тех же элементов ,но расположены в разном порядке. Число различных размещений из n элементов по k элемявыыентов обозначается символом

Теорема . = (размещение) порядок играет роль

Задача.1) Сколькими способами можно распределить 5 путёвок в различные дома отдыха, если отдохнуть желают 12 человек. Из 12 нужно выбрать 5, а затем между ними распределить путевки, это размещение из 12 элементов по 5

= = = =95040

Задача.2) Сколько 4-хзначных чисел можно составить из цифр 1234567,если ни одна цифра НЕ должна повторяться больше одного раза.

= = =4*5*6*7=840

Теорема. = (сочетания) порядок НЕ играет роль

Задача. Из группы студентов ,состоящих из 25 человек, надо составить команду из 4-х чел, для участия в соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать. Порядок НЕ играет роли.

= = = =12650

Вопрос 2. Перестановки, размещения и сочетания с повторениями.

На практике встречаются на перестановки размещения и сочетания в которых элементы повторяются.

Рассмотрим задачу :

Имеются элементы k различных типов a,b….l. Определить число всех возможных перестановок из этих элементов, если элемент а в каждой перестановке повторяется -n1 раз ,элемент b - n2 раза, элемент l -nk раз.

Определение:

Перестановкой с повторениями из элементов a?b…l, которые эти элементы повторятся соответственно n1,n2,nk раз, называется картеж длины n;n= n1+n2+…+nk , среди компонентов которого

a- n1 раз

b- n2 раз

l- nk раз

Число перестановок с повторениями обозначают P(n1,n2…nk).

Теорема: P(n1,n2..nk)=(n1+n2+…+nk)! / n1!*n2! *...*nk!

Задача 1. Сколько восьмизначных чисел можно записать с помощью цифр 1 3 5 при условии, что цифра 1 повторяется в каждом числе 4 раза ,цифра 3 - 2 раза, цифра 5 – 2 раза. Эти перестановки из цифр 1,3,5 в которых единицы повторяются 4 раза.

P(4,2,2)=(4+2+2)! / 4!*2!*2! = 5*3*7*4=420

Задача 2.

Сколько различных слов можно получить переставляя буквы в слове кукуруза (под словом будем понимать любой набор букв)

К-2раза

У-3раза P(2,3,1,1,1)=(2+3+1+1+1)! / 2!*3!*1!*1!*1!= 8!/6!=3360

Р-1раз

З-1 раз

А-1 раз

Пусть имеется множество М, который состоит из n элементов любой природы.

Определение:

Картеж длины k составленный из элементов n-элементного множества называется размещением с повторениями из n -элементов по к.Здесь не обязательно выполнения условия к больше или равно н.Число размещений обозначает

Теорема:

Задача1.

На диск секретного замка нанесены 10 цифр ,шифр состоит из 4 цифр,но цифры могут повторяться. Сколько существует комбинаций .

1111, 2233….-шифры

=10000

Вопрос №3. Позиционные и непозиционные системы счисления

Для наименования записи чисел и выполнения действий над ними в математике называется системой счисления(СЧ).

Для записи натуральных чисел применялись различные СЧ, которые можно разделить на позиционные и непозиционные.

В непозициооных СЧ значение каждого символа не зависит от его места в записи числа. Примером является римская нумерация чисел в которой: I-единица, V- пять, X- десять, L- пятьдесят, C-сто, D- пятьсот, M- тысяча.

Правило записи чисел в римской системе заключается в следующем:

А) если знак, изображающий меньшее число, стоит после знака изображающего болешее число, то производится сложение;

V I= 5+1=6

X V=10+5=15

Б) если знак, изображающий меньшее число, стоит перед знаком изображающий большее число, то производится вычитание;

I V=5-1=4

I X=10-1=9

Непозиционной системой считалась также греческая система, в которой Альфа (α)=1, Бета (β)=2, Гамма (γ)=3, …

В непозиционных СЧ записи получаются длинными, умножение и деление в письменном виде производить невозможно.

На смену к непозиционным системам пришли позиционные СЧ, в которых значения символов зависит от места или позиции в записи числа.

Впервые позиционная СЧ возникла в Индии, была заимствована арабами и стала называться арабской.