1. Понятие первообразной функции. Свойства первообразной

Во многих вопросах науки и техники возникает необходимость восстанавливать функцию по ее известной производной.

Будем говорить, что функция   в интервале   называется первообразной функцией для функции  , если

. (1.1)

Пусть   — первообразная для  , тогда любая функция  , где  , также будет первообразной для  . Действительно,

.

Таким образом, если функция имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.

Теорема 1. Любые две первообразные функции   отличаются на постоянную.

Доказательство. Пусть  и   - первообразные для  . Это означает, что

и   для  .

Рассмотрим функцию  . Для нее

.

Везде дальше произвольную постоянную будем обозначать  .

2. Понятие неопределенного интеграла, свойства неопределенного интеграла

Определение 1. Пусть функция   определена на  . Множество всех первообразных для функции   называется неопределенным интегралом для   и обозначается   (при этом   называется подинтегральным выражением):

,

где  — одна из первообразных функции  ,  .

Равенство интегралов

=

понимается как равенство множеств первообразных.

Пусть функции  ,  ,   определены на  , а  ,  ,   — их соответствующие первообразные на  . Через   будем обозначать дифференциалы соответствующих функций. Тогда

1. ;

2. ;

3. , де  ;

4. .

Докажем свойство 4:

13. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

1. Понятие определенного интеграла

Пусть функция  определена на отрезке . Разобьем отрезок на частей точками . Выберем на каждом из полученных отрезков произвольную точку .

Интегральной суммой функции  на отрезке называется сумма

или

, где  .

Наибольшую из длин  обозначим через .

Определенным интегралом функции  на отрезке называется число, равное пределу интегральной суммы и обозначается , т.е.

.

Из условия  следует, что .

Пределами интегрирования называются числа  и .

Подынтегральной функцией называется функция  .

Если функция  непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.

Подчеркнем, что определенный и неопределенный интегралы существенно различаются между собой. Если неопределенный интеграл представляет семейство функций, то определенный - есть определенное число.

2. Свойства определенного интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций (верно для любого числа слагаемых):

.

3. При перемене порядка интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный:

.

4. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых а, b и с справедливо

.

5. Обе части неравенства можно почленно интегрировать, т.е. если для всех  , то

.

6. Для  определенный интеграл становится функцией от переменного верхнего предела . Производная этой функции равна значению подынтегральной функции в точке :

.

7. Теорема о среднем. Если функция  непрерывна на , то существует точка такая, что

.

Значение  называетсясредним значением функции  на .

у

В

А

Площадь криволинейной трапеции  равна площади прямоугольника с основанием и высотой, равной значению функции в точке  .

Геометрически теорема о среднем означает, что на отрезке найдется такая точка, что площадь под кривой   на этом отрезке будет равна площади прямоугольника со сторонами   и  .