Необходимое и достаточные условия существования экстремумов функции одной переменной

Из теоремы Ферма следует, что если х = х₀ точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю

f ^/(x₀) =0.

Следует также отметить, что, иногда, в точке экстремума функция может быть недифференцируемой, т.е. в этой точке производная не существует.

• Необходимое условие существования экстремума функции: если х = х₀ - точка экстремума, то f ^/(x₀) =0 или f ^/(x₀) не существует.

Точки, в которых f ^/(x₀) обращается в нуль или не существует, называется критическими.

• Достаточное условие существования экстремума функции: если функция y=f(x) непрерывна в точке х = х₀ и ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, кроме, быть может, самой точки, и производная  при переходе через точку х = х₀ меняет свой знак, то функция имеет экстремум при х = х_{0 .}

При этом х = х₀ - точка максимума, если знак меняется с « + » на « - », и х = х₀ - точка минимума, если знак меняется с « - » на « + » .

10. Исследование функции на выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика функции. График дифференцируемой функции   называется выпуклым (или выпуклым вниз) на интервале xÎ(a;b), если он расположен выше любой касательной, проведенной к графику на этом интервале.

График функции   называется вогнутым (или выпуклым вверх) на интервале xÎ(a;b), если он расположен ниже любой касательной, проведенной к графику на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции   , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости.

При xÎ(a;х₀) график вогнутый, при xÎ(х₀;b) выпуклый, М₀(х₀;y₀) – точка перегиба.

Достаточное условие выпуклости, вогнутости.

Если функция   является дважды дифференцируемой и ее   сохраняет знак при всех xÎ(a;b), то график функции имеет постоянное направление выпуклости на этом интервале:

при   <0 – выпуклость вверх (вогнутость),

при   >0 – выпуклость вниз, или просто выпуклость.

Необходимое условие для точки перегиба.

Если x₀ – абсцисса точки перегиба графика функции   , то   или   не существует.

Необходимое условие не является достаточным. Точки, принадлежащие графику функции   , в которых   или   не существует, называются подозрительными на перегиб.

Достаточное условие для точек перегиба.

Если вторая производная   при переходе через точку х₀, подозрительную на перегиб, изменяет знак, то точка графика с абсциссой х₀ является точкой перегиба. Если   не изменяет знак при переходе через точку х₀, то перегиба нет.

11. Асимптоты кривых. Схема полного исследования функции и построение графика. Асимптоты функции

   Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Вертикальные асимптоты

   Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет. Некоторые особенности поведения функции в окрестности вертикальных асимптот представлено на рисунке.    Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва второго рода В этом случаеf( x₀ ± 0) = ± ∞, или f ( x₀ ± 0) = + ∞ , или f (x₀ ± 0) = − ∞.    Следует отметить, что в этом случае может отмечаться всё разнообразие поведения функции в окрестности точки разрыва. Например, на рис. 8.2 приведён график элементарной функции

.  Рис. 8.2. Точка разрыва второго рода для данной функции определяется только справа

Горизонтальные асимптоты

   Если

,

то у = b — горизонтальная асимптота кривой y = f (x) (правая – при х стремящемуся к плюс бесконечности, левая – при х стремящемуся к минус бесконечности и двусторонняя, если пределы при х стремящемуся к плюс-минус бесконечности равны).

 Рис. 8.3. Примеры горизонтальных двухсторонних и односторонних асимптот

Наклонные асимптоты

   Уравнение наклонной асимптоты функции y = f (x) определим уравнением y =k·x + b. При этом параметры наклонной асимптоты определяются соотношениями

,  .

   Для того, чтобы функция y = f (x ) имела асимптоту y = k ·x + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали указанные выше конечные пределы.    Доказательство. По определению асимптоты имеем

.

Так как MP = MP₁·cos α, где угол α есть величина постоянная, равная углу наклона асимптоты к оси Ох. Поэтому соотношение для определения асимптоты можно записать в виде

.

Так как точки М и Р₁ соответствуют одному и тому же значению аргумента, то это соотношение можно записать в виде

.                        (9.1)

Если вынести за скобки х, то

,

из этого однозначно будет следовать

,

или

.

Откуда следует соотношение для нахождения углового коэффициента асимптоты

.

Зная угловой коэффициент асимптоты, из соотношения (9.1) получим

.

Общее исследование функции и построение графика

   С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление вогнутости графика, наличие асимптот.    Обычно используют следующую схему исследования функций:

1. Определение области определения.

2. Определение четности или нечетности.

3. Определение периодичности функции.

4. Определение интервалов знака постоянства первой производной.

5. Определение интервалов знака постоянства второй производной.

6. Составление таблицы результатов.

   х
   у '
   у ''
   у

7.    В первой строчке таблицы указываются интервалы, на которые разбивается область определения функции точками разрыва, точками экстремума и точками перегиба в порядке следования. Сами эти точки в порядке следования помещаются в отдельные столбцы. Во второй строчке таблицы в каждой ячейке указываются знаки первой производной. В третьей строчке таблицы в каждой ячейке указываются знаки второй производной. В четвёртой строчке определяется характер поведения функции в каждой ячейке. Если это точки экстремума или точки перегиба, то указываются значения функции в этих точках.

8. Нахождение асимптот.

9. Построение графика функции, начинается с построения асимптот и характерных точек.

Полное исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме.

1) найти область определения функции;

2) выяснить, не является ли функция чётной или нечётной, периодической;

3) исследовать непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов;

4) найти асимптоты графика функции;

5) исследовать монотонность функции и найти ее экстремумы;

6) найти точки перегиба, установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

7) обозначить дополнительные точки графика функции, например, точки его пересечения с осями координат.

12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл, свойства и основные методы интегрирования.