Экзаменационные вопросы по математике

для студентов 1 курса, 2 семестр

1. Понятие множества. Способы задания множеств. Подмножества. Диаграммы Эйлера - Венна.

Понятие множества

Множество есть любая определенная совокупность объектов.

Множество — совокупность элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством.

Элементы множества различны и отличимы друг от друга

Обозначения

Множество: A, B, C… , , и т.д.

Элементы множества: a, b, c, … , x, y, z, … , , и т.д.

Принадлежность множеству: aÎA “элемент а принадлежит множеству А”

Отсутствие принадлежности: aÏA “элемент а не принадлежит множеству А”

Пустое множество: Æ - множество, не содержащее ни одного элемента

Множество – универсум: U – предметная область к которой принадлежит данное множество.

Множество целых чисел является универсумом для множества целых чисел от 1 до 100

Примеры множества

Множество A различных символов в этом документе (тексте, билете *подставить нужное*)

Множество N натуральных чисел 1,2,3,...

Множество действительных корней уравнения +1=0

Множество P простых чисел

Общепринятые обозначения

N – множество натуральных чисел

R – множество действительных чисел

Z – множество целых чисел

Q – множество рациональных чисел

C – множество комплексных чисел

Множества и подмножества

Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А. Обозначается B Í A или А Ê В

Каждое множество является своим подмножеством (это самое "широкое" подмножество множества).

Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое "узкое" подмножество).

Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение B ⊂ A или A ⊃ B.

Если одновременно B ⊆ A и A ⊆ B, т.е. каждый элемент множества В принадлежит А, и в то же время каждый элемент А принадлежит В, то А и В, очевидно, состоят из одних и тех же элементов и, следовательно, совпадают. В этом случае применяется знак равенства множеств: A = B.

Символы ∈, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ называются символами включения.

Для задания множества существуют различные способы. Множество считают заданным, если о каждом элементе можно сказать, принадлежит он данному множеству или нет.

Задание множества с использованием общепринятых обозначений. Для числовых множеств имеем:  – множество натуральных чисел; – множество целых чисел; – множество рациональных чисел; – множество действительных чисел; – множество комплексных чисел.

Задание множества перечислением его элементов. Конечное множество можно задать перечислением его элементов и записать в виде

.

Например, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество десятичных цифр.

Задание множества с помощью характеристического свойства его элементов. Характеристическое свойство – это свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они. Этот способ применим для конечных и бесконечных множеств.

Пусть  – утверждение, заключающееся в том, что элемент обладает свойством . Тогда запись

означает, что рассматривается множество всех элементов  , обладающих свойством .

Например, отрезок [0, 1] действительной прямой можно определить следующим образом

.

Рекурсивное задание множества. Этот способ заключается в следующем:

1. Указываются некоторые исходные элементы, входящие в множество.

2. Описывается механизм, позволяющий получить новые элементы из имеющихся.

3. Объявляется, что в множестве нет никаких других объектов кроме тех, которые можно получить из исходных, применяя описанный в п. 2 механизм.

Круги́ Э́йлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все 2ⁿ комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n=3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

О пределение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):

2. Операции над множествами. Декартово произведение множеств.

Операции над множествами

1. Пересечением двух множеств А и В называют такое множество, элементы которого принадлежат одновременно множеству А и множеству В.

Если таких элементов не существует, то АÇВ=Æ. Если множества заданны перечислением, то для нахождения их пересечения, необходимо выбрать элементы, входящие и в первое и во второе множество.

А = {2,3,4,5,6}

В = {3,6,8,10}

А ÇВ =С = {3, 6}.

В случае если множество задается характеристическими свойствами, то для нахождения характеристического свойства их пересечения необходимо свойства множеств А и В соединить союзом «и».

А = {а|а - четные, натуральные}

В = {в|в - двузначные, натуральные}

С = АÇВ = {с|с - четные, двузначные, натуральные} = {10, 12, 14,…96, 98}

2.Объединением двух множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

АÈВ={х|хÎА или хÎВ}

Если множества заданы перечислением, то, чтобы найти их объединение, достаточно перечислить все элементы, которые принадлежат хотя бы одному их множеств. В случае, если множества заданы характеристическими свойствами, для нахождения их объединения, необходимо характеристические свойства множеств А и В соединенных союзом «или»:

А = {2, 3, 4, 5, 6}

В = {2, 4, 6, 8}

С = АÈUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

3. Разностью множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (А/В - А минус В).

А = {2, 3, 4, 5, 6}; С = В\А = {6, 8}

В = {2, 4, 6, 8}; Д = A\B = {1, 3, 5}

4.Дополнением множества А до В (Ав’)называют разность между В и А.

Ав’= В\А

Но часто бывает, что в качестве множества В берётся так называемое универсальное множество, в которое входят все данные множества (U)

, , , -для данных множеств универсальным является плоскость, а для объемных фигур U является трёхмерное пространство.

1. АÇВ 2. АUВ 3. A\B 4.Ав’

Декартовым произведением называют множество пар элементов, где первый элемент принадлежит первому множеству, а второй элемент второму множеству.

А*В = {(х,у)|хÎА и уÎВ}

А = {1, 2, 3},

B = {c, d},

A*B = {(1; c), (2; c), (3; c), (1; d), (2; d), (3; d)}

Прямым произведением трёх множеств называется множество, состоящее из троек элементов, в котором первый элемент принадлежит первому множеству, второй элемент принадлежит второму множеству, третий элемент принадлежит третьему множеству. Понятие прямого произведения можно обобщить для n множеств.

Свойства декартового произведения двух множеств:

1.Декартово произведение не обладает свойствами коммутативности, т.е.

А*В ¹ В*А;

2. Для декартова произведения не выполняется свойство ассоциативности;

3.Дистрибутивность декартова произведения, относительно объединения:

(АÈВ)*С = (А*С) È (В*С).

3. Функция и способы ее задания. Предел функции в точке и на бесконечности.

Одним из основных математических понятий является понятие функции . Понятие функции связано с установлением зависимости (свя­ зи) между элементами двух множеств. § Пусть даны два непустых множества Х и У. Соответствие f, ко- торое каждому элементу х Е Х сопоставляет один и только один элемент у Е У, называется фУНJCцuеt1 и записывается у = f(x), х Е Х или f : Х -+ . Говорят еще, что функция f оmобра;нсаеm множество Х на множество У. Рис. 98 Например, соответствия f и g, изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г - нет. В случае в - не каждому элементу х Е Х соответствует элемент у Е У. В случае г не соблюдается условие однозначности. Множество Х называется областью определен/ия функции f и обо­ значается D(f). Множество всех у Е У называется множеством зна­ 'Ч.енuiJ. функции f и обозначается Е(Л·

Аналитический способ задания функции является наиболее совер­ щенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у = f(x) . Графuческий способ: задается график функции. Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосред­ ственно находятся из этого графика. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком - его неточность. ТаБЛUчный способ: функция задается таблицей ряда значений ар­ гумента и соответствующих значений функции . Например, известные 121 таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы . . На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функци~, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

Предел функции в бесконечности: С понятием предела числовой последовательности   тесно связано понятие предела функции   в бесконечности. Если в первом случае переменная   возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная  , изменяясь, принимает любые значения.

Определение. Число   называется пределом функции   при   стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа  , найдется такое положительное число   (зависящее от  ), что для всех   таких что  , верно неравенство:

.

Это предел функции обозначается:   или   при  .

Можно сформулировать понятие предела при стремлении   к бесконечности определенного знака, т.е. при   и при  . В первом случае основное неравенство:  должно выполнятся для всех   таких, что  , а во втором – для всех   таких, что  .

Предел функции в точке: Пусть функция   задана в некоторой окрестности точки  , кроме, быть может, самой точки  .

Определение. Число   называется пределом функции   при   стремящемся к   (или в точке  ), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа  , найдется такое положительное число   (зависящее от  ), что для всех  , не равных   и удовлетворяющих условию  , выполняется неравенство  .

Это предел функции обозначается:   или   при  .

Если при стремлении   к   переменная   принимает лишь значения, меньшие  , или наоборот, лишь значения большие  , и при этом функция  стремится к некоторому числу  , то говорят об односторонних пределах функции   соответственно слева   и справа  .

4. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы и их использование.

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

.

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

, если  .

Примеры пределов содержащие неопределенности вида ноль на ноль   часто встречаются в тригонометрических функциях. Для их раскрытия используют первый замечательный предел суть которого заключается в том, что предел отношения синус функции к аргументу, когда тот стремится к нулю равен единице

На основе этой формулы можно получить ряд полезных для практики пределов

1) 

2) 

3) 

Второй замечательный предел позволяет раскрыть неопределенности вида  .

Коротко он имеет следующую запись

где   –экспонента.

На основе второго замечательного предела получают следующие формулы

1) 

2) 

Примеры, которые сводятся к первому и второму замечательному пределу встречаются довольно редко, однако без них такие примеры не решить.

5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, сравнение бесконечно малых.

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Сравнение бесконечно малых

Определения[править | править вики-текст]

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же   величины   и   (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

· Если   , то   — бесконечно малая высшего порядка малости, чем   . Обозначают   или β≺α.

· Если   , то   — бесконечно малая низшего порядка малости, чем   . Соответственно   или α≺β.

· Если   (предел конечен и не равен 0), то   и   являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается какα≍β или как одновременное выполнение отношений   и   . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.

· Если   (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина   имеет   -й порядок малости относительно бесконечно малой   .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

6. Непрерывность функции в точке. Односторонние пределы, точки разрыва и их классификация. В той или иной математической задаче речь может идти о непрерывности функции в точке, непрерывности функции на интервале, полуинтервале или непрерывности функции на отрезке. То есть, не существует «просто непрерывности» – функция может быть непрерывной ГДЕ-ТО. И основополагающим «кирпичиком» всего остального является непрерывность функции в точке.

Теория математического анализа даёт определение непрерывности функции в точке с помощью «дельта» и «эпсилон» окрестностей, но на практике в ходу другое определение, которому мы и уделим самое пристальное внимание.

Сначала вспомним односторонние пределы, ворвавшиеся в нашу жизнь на первом уроке о графиках функций. Рассмотрим будничную ситуацию: Если приближаться по оси   к точке   слева (красная стрелка), то соответствующие значения «игреков» будут идти по оси   к точке   (малиновая стрелка). Математически данный факт фиксируется с помощью левостороннего предела:

Обратите внимание на запись   (читается «икс стремится к ка слева»). «Добавка» «минус ноль» символизирует бесконечно малое отрицательное число, по сути это и обозначает, что мы подходим к числу   с левой стороны.

Аналогично, если приближаться к точке «ка» справа  (синяя стрелка), то «игреки» придут к тому же значению  , но уже по зелёной стрелке, и правосторонний предел оформится следующим образом:

 «Добавка»   символизирует бесконечно малое положительное число, и запись   читается так: «икс стремится к ка справа».

Если односторонние пределы конечны и равны (как в нашем случае):  , то будем говорить, что существует ОБЩИЙ предел  . Всё просто, общий предел  – это наш «обычный» предел функции, равный конечному числу.

Заметьте, что если функция не определена при   (выколите чёрную точку на ветке графика), то перечисленные выкладки остаются справедливыми. Как уже неоднократно отмечалось, в частности, в статье о бесконечно малых функциях, выражения    означают, что «икс» бесконечно близко приближается к точке  , при этом НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ, определена ли сама функция в данной точке или нет. Хороший пример встретится в следующем параграфе, когда анализу подвергнется  функция  .

Определение: функция непрерывна в точке  , если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:  .

Определение детализируется в следующих условиях:

1) Функция должна быть определена в точке  , то есть должно существовать значение  .

2) Должен существовать общий предел функции  . Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов:  .

3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке:  .

!!! Рекомендую законспектировать пункты, поскольку они потребуются для решения практических задач. Далее по тексту они будут отмечаться как Условие №1, Условие №2 и Условие №3.

Если нарушено хотя бы одно из трёх условий, то функция теряет свойство непрерывности в точке  .

7. Производная функции в точке, ее физический и геометрический смысл.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

8. Дифференциал функции, его геометрический смысл, применение в приближенных вычислениях. Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Это записывается так:

или

или же

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину   (см. рисунок).

Почему дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях?

Дифференциал,   является главной, линейной относительно   частью приращения функции; чем меньше   , тем большую долю приращения составляет эта часть. В этом можно убедиться, мысленно передвигая перпендикуляр, опущенный из точки P (см. рисунок) к оси Ox, ближе к началу координат. Поэтому при малых значениях   (и при   ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью   , т.е.

О разных формах записи дифференциала

Дифференциал функции в точке x и обозначают

или

Следовательно,

 (1)

или

 , (2)

поскольку дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

9. Исследование функции на экстремумы, необходимое и достаточное условия экстремума. Точка   называется точкой максимума (минимума) функции   ,если существует такая окрестность точки   , что для всех    из этой окрестности выполняется неравенство   ,   . На рис.9 изображены точки:   - точка максимума,   - точка минимума.

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Минимум или максимум функции называется экстремумом функции.

Рассмотрим условия существования экстремума функции.