Доказательство:

Для любой пары противолежащих граней параллелепипеда имеем: соответствующие углы равны (например,  ,   и т. д.); соответствующие стороны равны и параллельны (  и  ,   и   и т. д. как противолежащие стороны параллелограммов). Отсюда   и их плоскости параллельны. 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

10. Вопрос: Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Ответ: Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

11. Вопрос: Теорема о трёх перпендикулярах.

Ответ: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

12. Вопрос: Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Ответ: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

13. Вопрос: Призма. Основные элементы, S_бок, S_полн, V_призмы.

Ответ: Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами.

S_бок =P_осн*h,

S_полн = 2S_осн + S_бок,

V_призмы =S_осн*h.

14. Вопрос: Пирамида. Основные элементы, S_бок, S_полн, V_{пирамиды}.

Ответ: Пирамида – многогранник, одна из граней которого (называется основанием) – произвольный многоугольник, а остальные грани соединяются в одной точке(вершине).

S_бок = P_осн*l

S_полн = S_бок + S_осн

V_{пирамиды} = (1/3)*S_осн*h

15. Вопрос: Усечённая пирамида. Основные элементы, S_бок, S_полн.

Ответ: Усечённой пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между её основанием и сечением пирамиды, параллельным основанию.

S_{бок. ус.} = (1/2)(P_1осн+P_2осн)l, l – апофема.

S_полн= S_{бок. ус}.+ S_1осн+S_2осн.

16. Вопрос: Двугранный угол. Градусная мера двугранного угла.

Ответ: Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой. Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла. Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

17. Вопрос: Прямоугольный параллелепипед. Свойства прямоугольного параллелепипеда (доказать одно из них).

Ответ: Прямоугольный параллелепипед - многогранник с шестью гранями, каждая из которых является в общем случае прямоугольником. Противолежащие грани параллелепипеда равны.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

С1: В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

АВСD и А₁В₁С₁D₁ – прямоугольники по определению.

С2: Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.

С3: Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ1 и АВС.

АВ – ребро, точка А1 лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ1, а точка D в другой – в плоскости А1В1С1D1. Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А1АВD.

Возьмем точку А на ребре АВ. АА1 – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ1, AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А1АD – линейный угол данного двугранного угла. ∠А1АD = 90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.

∠(АВВ1, АВС) = ∠(АВ) = ∠А1АВD= ∠А1АD = 90°.

Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

18. Вопрос: Понятие многогранника. Виды. Примеры.

Ответ: Если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела называются многогранниками.

Виды:

1. Пирамида

• Усечённая пирамида

2. Призма

3. Параллелепипед

• Куб

• Прямоугольный параллелепипед

4. Конус

• Усеченный конус

19. Вопрос: Правильная пирамида. Определение, S_бок.

Ответ: Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания.

S_бок=P_осн*l, l – апофема.

20. Вопрос: Симметрия в пространстве. Правильные многогранники.

Ответ: Точки А и A₁ на­зы­ва­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но точки О (цен­тра сим­мет­рии), если О – се­ре­ди­на от­рез­ка AA₁. Точка О сим­мет­рич­на сама себе.

Точки А и A₁ на­зы­ва­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но пря­мой а (ось сим­мет­рии) если пря­мая а про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка AA₁ и пер­пен­ди­ку­ляр­на ему. Каж­дая точка пря­мой a сим­мет­рич­на сама себе.

Точки А и A₁ на­зы­ва­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но плос­ко­сти a (плос­кость сим­мет­рии) если плос­кость a про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка AA₁ и пер­пен­ди­ку­ляр­на ему. Каж­дая точка плос­ко­сти a сим­мет­рич­на сама себе.

Правильные многоугольники:

• Куб

• Правильный тетраэдр

• Правильная пирамида

• Правильный октаэдр

• Правильный икосаэдр

• Правильный додекаэдр

21. Вопрос: Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости.

Ответ: Уравнение сферы: (x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=R²