До­ка­за­тель­ство:

Пусть даны па­рал­лель­ные плос­ко­сти   и   и плос­кость   , ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет плос­ко­сти   и  по пря­мым а и b со­от­вет­ствен­но (Рис. 1.).

Рис. 1.

Пря­мые а и b лежат в одной плос­ко­сти, а имен­но в плос­ко­сти γ. До­ка­жем, что пря­мые а и b не пе­ре­се­ка­ют­ся.

Если бы пря­мые а и b пе­ре­се­ка­лись, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка при­над­ле­жа­ла бы двум плос­ко­стям и  , и  , что невоз­мож­но, так как они па­рал­лель­ны по усло­вию.

Итак, пря­мые а и b па­рал­лель­ны, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

С2: От­рез­ки па­рал­лель­ных пря­мых, за­клю­чен­ные между па­рал­лель­ны­ми плос­ко­стя­ми, равны.

Рис. 2.

До­ка­за­тель­ство:

Пусть даны па­рал­лель­ные плос­ко­сти   и  и па­рал­лель­ные пря­мые АВ и СD, ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют эти плос­ко­сти (Рис. 2.). До­ка­жем, что от­рез­ки АВ и СD равны.

Две па­рал­лель­ные пря­мые АВ и СD об­ра­зу­ют един­ствен­ную плос­кость γ, γ = АВDС. Плос­кость γ пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные плос­ко­сти   и   по па­рал­лель­ным пря­мым (по пер­во­му свой­ству). Зна­чит, пря­мые АС и ВD па­рал­лель­ны.

Пря­мые АВ и СD также па­рал­лель­ны (по усло­вию). Зна­чит, че­ты­рех­уголь­ник АВDС – па­рал­ле­ло­грамм, так как его про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны по­пар­но па­рал­лель­ны.

Из свойств па­рал­ле­ло­грам­ма сле­ду­ет, что от­рез­ки АВ и СD равны, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

С3: Па­рал­лель­ные плос­ко­сти рас­се­ка­ют сто­ро­ны угла на про­пор­ци­о­наль­ные части.

До­ка­за­тель­ство:

Пусть нам даны па­рал­лель­ные плос­ко­сти   и , ко­то­рые рас­се­ка­ют сто­ро­ны угла А (Рис. 3.). Нужно до­ка­зать, что  .

Рис. 3.

Па­рал­лель­ные плос­ко­сти   и  рас­се­че­ны плос­ко­стью угла А. На­зо­вем линию пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти угла А и плос­ко­сти   – ВС, а линию пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти угла А и плос­ко­сти   – В₁С₁. По пер­во­му свой­ству, линии пе­ре­се­че­ния ВС и В₁С₁ па­рал­лель­ны.

Зна­чит, тре­уголь­ни­ки АВС и АВ₁С₁ по­доб­ны. По­лу­ча­ем:

.

9. Вопрос: Тетраэдр и параллелепипед. Определения. Свойства параллелепипеда.

Ответ: Тетраэдр - поверхность, составленная из четырёх треугольников DАВ, DВС, DАС и АВС.

АВС,  DАС,  DВС,  DАВ - грани. отрезки DА, DВ, АВ и т.д. - рёбра. точки А, В, С и т.д. - вершины. Рёбра АD и ВС - противоположные. Считается  АВС - основание, остальные грани - боковые.

Параллелепипед. АВСDA₁B₁C₁D₁: поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A₁B₁C₁D₁, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.

	все параллелограммы - грани, их стороны - рёбра, их вершины - вершины параллелепипеда. Считается: АВСD и A1B1C1D1 - основания, остальные грани - боковые.
рис. 29	Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда: A1C, D1B, AC1, DB1.

Свойства: 1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.