13.4 Использование локальной системы координат при наличии нескольких участков интегрирования.
Пример 13.3
a = 3.9м, b = 0.9м, c = 1.2м, 
кН/м , 
кН/м ,
кН,
5кНм, 
;
сталь:
МПа,
ГПа,
;
древесина:
МПа,
ГПа,
.
Расчетные нагрузки:
кН/м, 
кН/м, 
кН ,
кНм.
Расчетная схема балки приведена на рис. 13.5
Рис.13.5 Расчетная схема балки
Выражения для изгибающих моментов на участках имеют вид (см. лекцию №12 пример 12.1):
|
( |
,
,
.
)Записываем дифференциальное уравнение оси изогнутой балки на первом участке и дважды его интегрируем
Первый
участок
|
(
(
(
|
,
,
)
)
)Записываем дифференциальное уравнение оси изогнутой балки на втором участке и дважды его интегрируем
Второй
участок
|
(
(
( |
,
,
.
)
)
)Записываем дифференциальное уравнение оси изогнутой балки на третьем участке и дважды его интегрируем
Третий
участок
|
(
(
( |
,
,
.
)
)
)Константы интегрирования определим из условий закрепления балки и условий непрерывности функции прогиба и ее производной на границах участков.
На
левом конце балка опирается на опору,
прогиб в точке равен нулю
,
следовательно
|
( |
.
)
Условия
сопряжения на границе 1-го и 2-го участков
имеют вид:
,
.
С учетом выражений (
)
и (
)
получим
|
( |
.
)С учетом выражений ( ) и ( ) будем иметь
|
( |
.
)
Условия
сопряжения на границе 2-го и 3-го участков
имеют вид:
,
.
С учетом выражений (
)
и (
)
получим
|
( |
)С учетом выражений ( ) и ( ) будем иметь
|
( |
.
)В
точке
балка
опирается на опору, прогиб в точке равен
нулю
|
( |
)Уравнения ( )-( ) образуют систему линейных алгебраических уравнений, которая имеет вид:
|
( |
,
,
,
,
)
Система
уравнений (
)
легко разрешима. Действительно, из 1-го
и 2-го уравнений имеем:
,
,
тогда из 3-го уравнения
находим
.
Используем 4-е уравнение
,
тогда с учетом
из 5-го получаем
.
Подставляем
в
6-е уравнение, находим
.
Из 4-го определяем
.
Из 2-го уравнения находим
.
Результат решения системы: ; ; ; ; ; .
Подставляем значения констант интегрирования в выражения для прогибов и углов поворота, получаем:
,
,
,
,
,
.
При решении задачи использованы выражения для изгибающих моментов, полученные от действия расчетной нагрузки. Прогибы и углы поворота сечений балки определяются от действия нормативной нагрузки. Поэтому при вычислении перемещений их численные значения необходимо разделить на коэффициент надежности по нагрузке .
Прогиб в середине пролета балки от нормативной нагрузки
Прогиб
на конце консоли от нормативной нагрузки
Угол
поворота сечения на левой опоре от
нормативной нагрузки
.
Угол поворота сечения на правой опоре
.
Эпюры углов поворота сечений и прогибов представлены на рис. 13.6, 13.7.
Рис. 13. 6 Углы поворота сечений |
Рис. 13.7 Прогибы |
Точка,
в которой
,
определяется из решения кубического
уравнения
.
Корни
кубического уравнения:
;
;
.
Подходит только корень
.
Значение функции прогибов в точке
экстремум
(вычислено раннее).
Данное исследование необходимо, если требуется проверить условие жесткости, когда величина допустимого прогиба задана.