2.4 Внутренние силы и напряжения
Внутренние силы – приращение сил взаимодействия между частицами тела, возникающих при его нагружении.
Рис. 2.6 Нормальные и касательные напряжения в точке
Тело
рассечено плоскостью (рис.2.6 а ) и в этом
сечении в рассматриваемой точке М
выделена малая площадка
,
её ориентация в пространстве определяется
нормалью n.
Равнодействующую силу на площадке
обозначим через
.
Среднюю
интенсивность на площадке определим
по формуле
.
Интенсивность внутренних сил в точке
определим как предел
(2.1)
Интенсивность
внутренних сил
передающихся в точке через выделенную
площадку, называется напряжением
на данной площадке.
Размерность
напряжения
.
Вектор
определяет
полное напряжение на данной площадке.
Разложим его на составляющие (рис.2.6 б)
так, что
,
где
и
–
соответственно нормальное
и
касательное
напряжения на площадке с нормалью n.
При
анализе напряжений в окрестности
рассматриваемой точки М
(рис.2.6
в) выделяют бесконечно малый элемент в
форме параллелепипеда со сторонами
,
,
(проводят 6 - сечений). Полные напряжения,
действующие на его гранях, раскладывают
на нормальное и два касательных
напряжения. Совокупность напряжений,
действующих на гранях, представляют в
виде матрицы (таблицы), которую называют
тензор
напряжений
(2.2)
Первый
индекс у напряжения, например
,
показывает,
что оно действует на площадке с нормалью,
параллельной оси
,
а второй показывает, что вектор напряжений
параллелен оси у. У нормального напряжения
оба индекса совпадают поэтому ставится
один индекс.
2.5 Силовые факторы в поперечном сечении стержня и их выражение через напряжения.
Рассмотрим
поперечное сечение стержня нагруженного
стержня (рис 2.7 ,а). Внутренние силы,
распределенные по сечению, приведем к
главному вектору R
, приложенному в центре тяжести сечения,
и главному моменту M.
Далее разложим их на шесть компонент:
три силы
,
,
и
три момента
,
,
,
называемые внутренними
усилиями в поперечном сечении.
Рис. 2.7 Внутренние усилия и напряжения в поперечном сечении стержня.
Компоненты главного вектора и главного момента внутренних сил, распределенных по сечению, называются внутренними усилиями в сечении ( - продольная сила; , - поперечные силы, , -изгибающие моменты, -крутящий момент).
Выразим внутренние усилия через напряжения, действующие в поперечном сечении, предполагая их известными в каждой точке (рис. 2.7,б)
Выражение внутренних усилий через напряжения.
(2.3)
2.6 Метод сечений
При действии на тело внешних сил оно деформируется. Следовательно, меняется взаимное расположение частиц тела; в результате этого возникают дополнительные силы взаимодействия между частицами. Эти силы взаимодействия в деформированном теле есть внутренние усилия. Необходимо уметь определять значения и направления внутренних усилий через внешние силы, действующие на тело. Для этого используется метод сечений.
Рис. 2.8 Определение внутренних усилий методом сечений.
Уравнения равновесия для оставшейся части стержня.
,
,
,
,
(2.4)
Из уравнений равновесия определяем внутренние усилия в сечении a-a.