3.5 Обобщенный закон Гука.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с ребрами единичной длины по граням которого действуют только нормальные напряжения .

Рис 3.15 Трехосное растяжение элемента

Используем принцип независимости действия сил. Деформации элемента при растяжении его вдоль осей x,y,z равны (рис. 3.16):

Рис. 3.16 Деформации элемента при растяжении его вдоль оси x.

вдоль оси x	,	,	;
вдоль оси y	,	,	;
вдоль в оси z	,	,	.

Складываем правые части равенств по столбцам, получаем формулы обобщенного закона Гука. , ,

(3.13)

3.6 Относительное изменение объема параллелепипеда.

Относительное изменение объема параллелепипеда .

Раскрываем скобки и отбрасываем слагаемые 2-го и 3-го порядков малости

.

В результате получаем

.

(3.14)

Выразим через нормальные напряжения. Подставим относительные деформации (3.12) в (3.14) в результате получим:

. После несложных преобразований будем иметь

( )

Используя формулу ( ) можно показать, что коэффициент Пуассона для различных материалов может изменяться в диапазоне .

3.7 Напряжения в сечениях, наклонных к оси стержня, при растяжении и сжатии.

Рассмотрим стержень, растянутый равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью σ ( рис.3.17 а) Рассечем стержень по наклонному сечению и отбросим правую часть ( рис.3.17 б)

Рис. 3.17 Напряжения на наклонных площадках растянутого стержня.

На наклонной площадке полные напряжения будут направлены вдоль продольной оси и распределены равномерно (все волокна растянуты одинаково (ЧЦР)). Оставшаяся левая часть стержня находится в равновесии:

p ,

,

,

.

Нормальные и касательные напряжения в наклонном сечении:

(3.15)

На площадках совпадающих с поперечным сечение (α=0)

0

(3.16)

На площадках наклоненных под углом α=

(3.17)

На продольных площадках ( вдоль оси стержня) (α= )

0

(3.18)

Варианты действия напряжений показаны на рис. 3.18

Рис. 3.18 Варианты действия напряжений , .

На двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по абсолютной величине

Рис. 3.19 Нормальные и касательные напряжения на гранях выделенных элементов