Тема 3 Центральное растяжение – сжатие стержня Лекция №3

3.1 Внутренние усилия при растяжении и сжатии.

3.2 Дифференциальные зависимости между продольной силой и интенсивностью распределенной нагрузки.

3.3 Закон Гука при растяжении и сжатии.

3.4 Определение перемещений в общем случае растяжения и сжатия.

3.5 Обобщенный закон Гука.

3.6 Относительное изменение объема параллелепипеда.

3.7 Напряжения в сечениях, наклонных к оси стержня, при растяжении и сжатии.

Основные понятия.

Внутренние усилия при растяжении сжатии: Чистое центральное растяжение (ЧЦР), центральное растяжение (ЦР), правило знаков для продольной силы N, принцип Сен-Венана, гипотеза плоских сечений, выражение нормальных напряжений через продольную силу.

Дифференциальные зависимости между продольной силой и интенсивностью распределенной нагрузки.

Закон Гука при растяжении и сжатии: абсолютная и относительная деформации, коэффициент Пуассона.

Обобщенный закон Гука: формулы обобщенного закона Гука, относительное изменение объема параллелепипеда.

3.1 Внутренние усилия при растяжении и сжатии.

Рассмотрим стержень, по торцам которого приложены поверхностные силы интенсивность (рис. 3.1). Площадь поперечного сечения стержня . Равнодействующая внешних сил совпадает с осью стержня. Такой вид деформации стержня называется чистым центральным растяжением (ЧЦР).

Рис. 3.1 Чистое центральное растяжение (ЧЦР).

Если внешние силы распределены по торцам неравномерно (рис. 3.2), но приводятся к равнодействующей сливающейся с осью стержня, то такой вид деформации стержня называется центральным растяжением (ЦР).

Рис. 3.2 Центральное растяжение (ЦР).

При ЧЦР (ЦС) в поперечных сечениях стержня возникает только продольная сила .

Условимся: продольную силу считать положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения, и отрицательной, если она вызывает сжатие, т.е. направлена к сечению.

Гипотеза плоских сечений: поперечные сечения стержня, плоские и перпендикулярные его оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси и после деформации.

Из этой гипотезы следует, что все продольные волокна деформируются одинаково и нормальные напряжения, вызывающие эти деформации также должны быть одинаковыми и, следовательно, распределены по поперечному сечению равномерно, т.е. . С учетом формулы (см. (2.3)) получаем формулу для нормальных напряжений при ЧЦР:

.

(3.1)

Формула (3.1) справедлива и при центральном растяжении, но только в точках, находящихся на достаточном удалении от места приложения внешних сил (принцип Сен-Венана).

Экспериментальная проверка принципа Сен-Венана при центральном растяжении будет демонстрироваться при проведении лабораторной работы №17.

Пример 3.1 Определение внутренних усилий при растяжении и сжатии.

Рис. 3.3 Определение продольной силы на участках стержня.

Начало координат выбираем на свободном конце стержня. Стержень разбиваем на два участка. Проводим сечение 1-1 в произвольном месте 1-го участка и рассматриваем равновесие части стержня слева от проведенного сечения, определяем продольную силу из уравнения равновесия. Аналогично определяем .

1-й участок. (рис. 3.3б)

2-й участок. (рис. 3.3в)

На рис.3.4 показан график изменения продольной силы по длине стержня (эпюра). Заметим, что в точке приложения сосредоточенной силы эпюра продольных сил делает скачок равный по величине этой силе.

Рис. 3.4 Эпюра продольных сил.