1. Матрица

Матрица - это таблица данных, которая берется в круглые скобки.

2. Квадратная матрица

Квадратной матрицей называется матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (размера n×n), число n называется порядком матрицы.

3. Диагональная матрица

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

4. Матричная строка, столбец –

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы.

Количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

5. Единичная матрица

Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.

6. Равные матрицы - Матрицы называются равными, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.

7. Сложение матрицы

Сложение матриц (сумма матриц) A + B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:

сij = aij + bij

8. Умножение матриц

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .

Замечание

Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

9. Умножение на число

Свойства умножения матрицы на число

1 · A = A

0 · A = Θ, где Θ - нулевая матрица

k · (A + B) = k · A + k · B

(k + n) · A = k · A + n · A

(k · n) · A = k · (n · A)

Найти произведение матрицы A = ( 4 2 ) и числа 5.

( 9 0 )

Решение:

5·A= 5· ( 4 2 ) = ( 5·4 5·2 ) = ( 20 10 )

( 9 0 ) ( 5·9 5·0 ) ( 45 0 )

10. Транспонированная матрица

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами:

aTij = aji

A=		49	20		.

Решение:

AT=		4	9
		2	0

11. Обратная матрица

Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A-1 = A-1·A = E

Свойства обратной матрицы:

1

2

3

4

Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулю определителями.

12. Определители

A = ( 5 7 )

-4 1

Решение:

det(A) = (5 7)

(-4 1 ) = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33

13. 2,3 Порядка

2-го порядка

A = ( 5 7)

(-4 1)

Решение:

det(A) = (5 7)

(-4 1 ) = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33

3-го порядка

∆ =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

=  a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂ - a₁₃·a₂₂·a₃₁ - a₁₁·a₂₃·a₃₂ - a₁₂·a₂₁·a₃₃

14. Линейные уравнения

из первого уравнения выразим:

Полученное выражение подставляем во второе уравнение:

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение :

Далее вспоминаем про то, от чего плясали:

Значение нам уже известно, осталось найти:

Ответ:

15. Векторы

Вектор это направляющий отрезок для которого указано какой из его концов является началом, а какой концом

16. Нулевой вектор – если начало и конец вектора совпадают

17. Длина вектора – расстояние между его началом и концом

18. Коллинеарные векторы – два ненулевых вектора, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

19. Равные векторы – векторы которые сонаправленны и их длины равны

20. Сонаправленные и противоположно направленные

Сонаправленные – если векторы и коллинеарные и их лучи направлены в одну сторону

Противоположно направленные – если векторы и коллинеарные и их лучи направлены в разные стороны

21. Правило треугольника – отложим от какой-нибудь точки А вектор АВ, равный а. Затем от точки В отложим вектор ВС равный b. Вектор АС называется суммой векторов а и b: AC=a+b

22. Правило параллелограмма – сложение векторов

Задание. Найти сумму векторов , и

Решение. Для нахождения суммы векторов, сложим их соответствующие координаты

Ответ.

23. Разность векторов – это такой вектор с сумма которого равна вектору а+b

Задание. Найти разность векторов , где и

Ответ.

24. Произведение вектора на число - Произведение ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b длина которого равна |k|*|a|, причем векторы а и b сонаправленны если k >=0 и противоположно направлены если k<0. Произведение нулевого вектора на любое число считается нулевым вектором.

25. Скалярное произведение через коорд.,

и

через cos

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то

Свойства скалярного произведения:

1 - симметричность.

2 . Обозначается и называется скалярный квадрат.

3 Если , то

4 Если и и , то . Верно и обратное утверждение.

5

6

7

26. Длина вектора в координатах – длина направленного отрезка которая определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

27. Длина отрезка - Это  расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек

d²= (х₂— х₁)²+ (y₂— y₁)²

Извлекая квадратный корень из выражения, находим:

|AB|² = (y₂ – y₁)² + (x₂ – x₁)².

28. Уравнения прямой и кривых

(x−x_A)²+(y−y_A)²=(x−x_B)²+(y−y_B)² – уравнение прямой

a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁x +2a₂y +a = 0 - Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

29. Общий вид уравнения прямой

Ax + By + C = 0.    

30. Уравнение прямой, проход через две точки

    A(x1, y1) и B(x2, y2 ):

31. Угол между прямыми на плоскости

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0, вычисляется по формуле:

32. Уравнение прямых в отрезках - x/a + y/b = 1,    где a и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

33. Кривые второго порядка - геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.