Основні етапи розрахунку за мсе

1. Дискретизація об’єкта (розбивка на окремі скінченні елементи ).

2. Запис основних залежностей. Щоб утворити єдину систему із скінченних елементів, об’єднаних в вузлах, записуються умови:

а)  –  рівноваги сил в вузлах (статичні рівняння (4.1.5)),

б)  –  нерозривності переміщень в вузлах (геометричні умови (4.1.6)),

в) –залежності між переміщеннями і реакціями (фізичні рівняння (4.1.7)).

Умови нерозривності виконуються автоматично, оскільки переміщення вузлів розрахункової схеми є спільними для СЕ, об’єднаних в одному вузлі.

Основна система МСЕ – сукупність СЕ. За умови розгляду МСЕ у формі методу переміщень вузлам розрахункової схеми надаються додаткові зв’язки, в яких виникають реакції (реактивні моменти та реактивні сили). Рівняння рівноваги складаються, виходячи з рівноваги сил в вузлах основної системи МСЕ, на які накладаються додаткові зв’язки (згідно з методом переміщень).

{F} – {R} = 0 ,

(4.2.1)

де {F} – вектор вузлових навантажень в вузлі;

{R}- вектор сумарних реакцій в вузлі для всіх стержнів, що входять в цей вузол.

Між реакціями і переміщеннями існує в пружній стадії лінійна залежність (фізичні рівняння):

{R}= [K]·{Δ},

(4.2.2)

де {R}- вектор шуканих реактивних зусиль та реактивних моментів,

[K] – матриця жорсткості СЕ, пошук якої в МСЕ базується на варіаційних принципах будівельної механіки (запис виразу потенційної енергії системи та його мінімізація).

Матриця жорсткості [K] характеризує пружні властивості скінченних елементів (стержнів, пластин, оболончастих СЕ….).

Цю ж систему основних залежностей МСЕ можна отримати із умови мінімуму функціоналу – виразу повної потенційної енергії системи, тобто із варіаційного рівняння Лагранжа за принципом найменшої дії:

δП = δ (U – A),

(4.2.3)

де А – робота зовнішніх сил (потенціал зовнішніх сил) ;

U – робота внутрішніх сил (потенційна енергія пружних деформацій розтягу, згину, зсуву).

Згідно з принципом можливої роботи І. Бернуллі [2], відомого як загальний принцип рівноваги механіки, в стані рівноваги робота всіх прикладених до неї сил, які сумісні з кінематичними умовами, дорівнює нулю. Тобто, коли δU + δА = 0, система знаходиться в рівновазі.

3.  Запис виразу повної потенційної енергії системи. На понятті енергії засновано багато методів механіки суцільних середовищ. Доцільність їх використання виходить з того, що енергія являє собою добре вивчену інваріантну величину і тому не залежить від системи координат.

4. Апроксимація шуканих переміщень.

5. Мінімізація виразу потенційної енергії системи.

Як відомо, розв’язати варіаційну задачу – це значить знайти таку систему переміщень, котра забезпечить мінімум функціоналу повної потенційної енергії системи. Для реалізації задачі система переміщень апроксимується рядом [2, 3]

U = ∑ ,

(4.2.4)

де  – координатна функція,

 – ступені вільності, знаходяться з умови мінімуму функціоналу.

,

(4.2.5)

які і будуть канонічними рівняннями МСЕ.

6.   Рішення отриманої СЛАР. Знаходження шуканого НДС системи.

МСЕ дає можливість сучасному проектувальнику розв’язати двоєдину задачу – забезпечити надійність об’єкта при найменших затратах матеріалів.