Однофазные электрические цепи переменного тока

Переменный ток получают на электростанциях, преобразуя с помощью генераторов механическую энергию в электрическую. Основное преимущество переменного тока по сравнению с постоянным заключается в возможности с помощью трансформаторов повышать или понижать напряжение, с минимальными потерями передавать электрическую энергию на большие расстояния, в трехфазных источниках питания получать сразу два напряжения: линейное и фазное.

2.1. Способы представления синусоидальных токов, напряжений, эдс

В современной технике широко используют разнообразные по форме переменные токи и напряжения: синусоидальные, прямоугольные, треугольные и др. Значение тока, напряжения, ЭДС в любой момент времени t называется мгновенным значением и обозначается малыми строчными буквами, соответственно

i = i(t); u = u(t); e = e(t).

Токи, напряжения и ЭДС, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения происходят, называют периодом Т.

Если кривая изменения периодического тока описывается синусоидой, то ток называют синусоидальным. Если кривая отличается от синусоиды, то ток несинусоидальный.

При расчете и анализе электрических цепей применяют несколько способов представления синусоидальных электрических величин.

1. Аналитический способ

Для тока (2.1)

i(t) = I_m sin(ωt + ψ_i),

для напряжения (2.2)

u(t) = U_m sin (ωt +ψ_u),

для ЭДС (2.3)

e(t) = E_m sin (ωt +ψ_e),

В уравнениях (2.1 – 2.3) обозначено:

I_m, U_m, E_m – амплитуды тока, напряжения, ЭДС; значение в скобках – фаза (полная фаза); ψ_i, ψ_u, ψ_e – начальная фаза тока, напряжения, ЭДС; ω – циклическая частота, ω = 2πf; f – частота, f = 1 / T; Т – период.

Величины i, I_m – измеряются в амперах, величины U, U_m, e, E_m – в вольтах; величина Т (период) измеряется в секундах (с); частота f – в герцах (Гц), циклическая частота ω имеет размерность рад/с. Значения начальных фаз ψ_i, ψ_u, ψ_e могут измеряться в радианах или градусах. Величина ψ_i, ψ_u, ψ_e зависит от начала отсчета времени t = 0. Положительное значение откладывается влево, отрицательное – вправо.

2. Временная диаграмма

Временная диаграмма представляет графическое изображение синусоидальной величины в заданном масштабе в зависимости от времени (рис. 2.1).

i(t) = I_m sin(ωt - ψ_i).

Получение синусоидальноЙ

ЭДС

Синусоидальную ЭДС получают с помощью явления электромагнитной индукции. Рамку помещают в магнитное поле и равномерно вращают вокруг своей оси. Рамка пересекает магнитные линии и на ее концах наводится ЭДС электромагнитной индукции, которая изменяется по закону

ω- угол на который рамка поворачивается за 1с, называется угловой скоростью или угловой частотой.

[ ω]=с^-1(рад/с)

, где f- циклическая частота, Гц

За время  рамка поворачивается на угол  , тогда получим 

Векторное изображение синусоидально изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w. Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4).

 

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток    равен сумме токов    и    двух ветвей:

 .

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

 и  .

Результирующий ток также будет синусоидален:

 .

Определение амплитуды   и начальной фазы    этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между н ими остается равным   .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

 .

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения    и    из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения    путем формального учета угловой частоты:   .

Сдвиг фаз — разность между начальными фазами двух переменных величин, изменяющихся во времени периодически с одинаковой частотой

2.Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа

.

Согласно первому закону Кирхгофа, сумма токов, притекающих к любой точке разветвления (узловой точке), равна сумме токов, уходящих от нее. 

Второй закон Кирхгофа

 второму закону Кирхгофа, во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме падений напряжения на всех сопротивлениях, входящих в этот контур:

.

Правило составления операторных уравнений по I и II законам Кирхгофа точно такое, как для действительных токов.

Для k-ой ветви, содержащей элементы R, L, C:

.

Операторная запись законов Кирхгофа

Закон Ома для k-й ветви

Виды соединений в электрических цепях

1.     Последовательное соединение. 2.     Параллельное соединение. 3.     Соединение «многоугольником». 4.     Соединение «звездой».

Последовательное соединение. Особенностью последовательного соединения является то, что во всех его элементах протекает один и тот же ток, и во всем соединении нет ни одного промежуточного узла. При последовательном соединении напряжения на элементах складываются

Параллельное соединение. Особенностью параллельного соединения является то, что ко всем параллельно соединенным ветвям приложено одно и то же напряжение.

При параллельном соединении ветвей токи в ветвях складываются

Соединение «многоугольник». Простейшим соединением «многоугольник» является соединение «треугольник».

Например сопротивления R2, R4, R5 образуют стороны «треугольника» с вершинами A, B, D. Сопротивления R3, R4, R6 образуют стороны «треугольника» с вершинами B, C, D. Ветвь R1 и E1 и ветви R2, R3 тоже являются

Билет 14. Действующие, амплитудные и средние значения синусоидальных ЭДС, напряжений и токов