13. Биномиальное распределение.

Случайное событие имеет вероятность p. Тогда вероятность того, что при n независимых испытаниях (вероятность одна и та же) оно наступит ровно m раз определяется:

Случайная величина m – количество успехов в n независимых испытаниях имеет биномиальное распределение; p – вероятность успеха, q – неудачи. Биномиальным распределение называется потому, что вероятность является коэффициентами разложения бинома Ньютона: (p + q)ⁿ = p_n(0) + p_n(1) + ... + p_n(n).

1. В городе каждый четвертый автомобиль – иномарка. Определить вероятность того, что из пяти встречных автомобилей три окажутся иномарками.

p = 1/4, q = 3/4, m = 3, n = 5.

2. Вероятность при случайном блуждании по организации три раза подряд встретить женщину составляет 0,008. Определить долю мужчин в организации.

3. Шарики: 3 б + 2 ч. Вытаскиваем шар и кладем обратно (чтобы вероятность не менялась при следующем испытании – условие их независимости). Определить вероятность того, что из пяти попыток получим ровно 2 белых шара. Вероятность белого в каждой попытке одинакова p = 3/5; q = 2/5.

p₅(2) = 10  (3/5)²  (2/5)³ = 720 / 5⁵

4. Известна вероятность того, что встречный человек – мужчина p = 0,6. Определить вероятность того, что из десяти встреченных людей трое будут мужчинами.

p₁₀(3) = (10!/(3! 7!))  0,6³  0,4⁷

5. Определить вероятность того, что событие из n попыток наступает хотя бы один раз. Заметим, что p_n(0) + p_n(1) + ... + p_n(n) = 1 (полная группа событий). Отсюда:

p(событие наступает от одного раза) = p_n(1) + ... + p_n(n)= 1 – p_n(0)= 1– qⁿ

14. Среднее, дисперсия, среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Средним (математическим ожиданием) случайной величины называется число:

= x₁ p₁ + x₂ p₂+ _...+ x_n p_n

Например, из 10 выстрелов попали: 3 раза в «5», 5 раз - в «7» и 2 раза - в «8». Среднее можно вычислить так:

что и соответствует формуле математического ожидания:

x	5	7	8
p	3/10	5/10	2/10

Знание среднесуточной температуры еще не достаточно для характеристики погоды: например, (днем +3, ночью –3) и (днем +30, ночью –30) дают одно и то же среднее значение – 0. Однако отклонения от среднего различны и определяют разницу в погоде.

Дисперсией случайной величины называется число, характеризующее разброс значений случайной величины относительно ее среднего.

Предположим, известно среднее для случайной величины x. Рассмотрим (x - Mx) – выражение со случайной величиной и потому само величина случайная – отклонение от среднего значения, и (x - Mx)² – его квадрат, заведомо положительная случайная величина. Именно ее среднее и является второй характеристикой – дисперсией (разбросом) случайной величины x. Иногда говорят о том, что случайная величина с большей дисперсией «более случайна».

Значение x	x1	x2	...
Значение (x-Mx)2	(x1-Mx)2	(x2-Mx)2	...
Вероятность	p1	p2	...

= (x₁ – M x)² p₁+(x₂ – M x)² p₂+...

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины (если та измеряется в руб., то дисперсия – в руб².); для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, единицы измерения которой совпадает с единицами измерения случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется среднеквадратическим отклонением случайной величины.

Часто вместо дисперсии записывают ².

Определить среднее и дисперсию случайных величин:

x	1	6	9
p	0,3	0,2	0,5

(6, 12)

y	1	2	7
p	0,5	0,2	0,3

(3, 7)

В важном частном случае (подставляя в формулы):

x	0	1
p	1–p	p

M x = p

D x = p(1–p).

Две первые характеристики можно обобщить, используя понятие момента. Моментом порядка n случайной величины x относительно числа X называется

_n = M (x–X)ⁿ.

Если X = 0, то момент называется начальным.

Если X = M x, то момент называется центральным.

Тогда среднее является начальным моментом первого порядка, дисперсия – центральным моментом второго порядка.

среднеквадратическое отклонение случайной величины- уравнение возвращающее дисперсию в реальность, то есть из нее извлекают квадратный корень.

Моменты более высокого порядка характеризуют особенности распределения случайной величины, например, асимметрию распределения.

Сравнить среднее и дисперсию случайных величин:

x	1	3	4	6	M x = 1/3 + 3/3 + 4/6 + 6/6 = 3
p	1/3	1/3	1/6	1/6	D x = (1-3)2/3 + (3-3)2/3 + (4-3)2/6 + (6-3)2/6 = 4/3 + 0 + 1/6 + 9/6 = 3

y	2	4	5	7	M y = 2/3 + 4/3 + 5/6 + 7/6 = 4
p	1/3	1/3	1/6	1/6	D y = (2-4)2/3 + (4-4)2/3 + (5-4)2/6 + (7-4)2/6 = 4/3 + 0 + 1/6 + 9/6 = 3

Другой способ определения дисперсии:

D x = M(x²) – (M x)² = (1/3+9/3+16/6+36/6)–3²=12–9=3