7. Аксиоматический подход к определению вероятностей. Аксиомы теории вероятностей.

1) Вероятность суммы 2-х совместных событий

p(A+B)= p(A )+ p(B) – p(AB),

для несовместных событий: p(A+B) = p(A )+ p(B)

Последнее выражение принято называть ТЕОРЕМОЙ СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Если распространить на любое число несовместных событий, то:

P (A₁+, A₂,+ ...,+ A_n) = p(A₁ ) + p(A₂ ) + …+ p(A_n )

2) Справедлива формула

p(Ā) = 1 – p(A) или p(A) + p(Ā) =1 – сумма противоположных событий равна 1.

3) Вероятность произведения 2-х зависимых событий равн произведению одного из них на условную вероятность другого

p(АВ) = p(A) p(B|A) = p(B) p(A|B)= p(A) p(B|A)

для независимых событий: p (AB) = p(A) p(B) - ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ

Последняя формула обобщается для трех и более событий:

p (ABC) = p (A) p (B|A) p (C|BA)

8. Формула полной вероятности.

Р ассмотрим H₁, H₂, ... – любую полную группу событий. Пусть известны вероятности события A в отдельных случаях – p(A|H₁), p(A|H₂),... Определим его полную вероятность, вне зависимости от случая.

Для любого события A будет справедливо разложение (см. рис. – A наступает всегда ровно с одним из H_i): A = H₁A + H₂,A +... + H_n A. Применяя аксиомы теории вероятностей, получим формулу полной вероятности:

p(A) = p(H₁)p(A|H₁) + p(H₂) p(A|H₂)+... + p(H_n)p(A|H_n) p(H₁)-вероятность одной из корзинок p(A|H₁)- вероятность вытянуть из корзинки H₁ необходимый элемент

Примеры

Задача 1: Имеется 3 корзины, выбираем случайно одну, из которой вытаскиваем шарик. Определить вероятность того, что он окажется белым.

1-я: 3 б + 2 ч

2-я: 1 б + 4 ч

3-я: 2 б + 3 ч

Обозначим события H1 - выбрана 1-я корзина, H2 - 2-я, H3 - 3-я. Будем считать, что все события равновероятны (p(Hi) = 1/3).

p(б) = p(H1)p(б|H1) + p(H2) p(б|H2)+p(H3)p(б|H3) =1/3  3/5 + 1/3  1/5 + 1/3  2/5 = 6/15 = 2/5

Задача 2: Имеется корзина: 2 б + 3 ч. Игроки тащат по очереди. Сравнить вероятности вытаскивания белого у первого и второго игроков.

У первого p(б) = 2/5.

Второму может достаться для вытаскивания корзина 1 б + 3 ч (событие H1) или 2 б + 2 ч (событие H2). Первое событие происходит когда первый вытащит б, значит, p(H1) = 2/5, аналогично p(H2) = 3/5. Для второго:

p(б) = p(H1)p(б|H1) + p(H2) p(б|H2) = 2/5  1/4 + 3/5  2/4 = 8/20 = 2/5

Вероятности совпадают. Аналогично можно показать, что шансы всех участников равны.

Задача 3: Имеются корзины: 2 б + 3 ч и 1 б + 3 ч. Из второй в первую переклады¬вается случайно выбранный шарик. Определить вероятность того, что после этого из первой будет выбран белый.

p(б) = p(H1)p(б|H1) + p(H2) p(б|H2) = 1/4 * 3/6 + 3/4 * 2/6 = 9/24 = 3/8

9. Формула гипотез (Байеса).

Другое название – формула гипотез. Обратная задача: известно, что наступило некоторое событие, необходимо оценить вероятность различных гипотез при этом условии.

Часто существует несколько альтернативных гипотез из которых верна ровно одна. В результате экспери­мента происходит событие A. Это может повлиять на оценку возможности гипотез. Например, от некоторых (несовместных с A) можно будет вообще отказаться.

Используя соотношение для любых событий H_k и A: p(H_k A) = p(H_k) p(A| H_k) = p(A) p(H_k |A), получим:

p(H_k |A) = p(H_k) p(A| H_k) / p(A)

Иногда p(A) известна, а в некоторых случаях ее можно получить по формуле полной вероятности.

Задача 1: В условиях задачи 1 на полную вероятность. Вытащили белый шар. Определить при этом вероятность того, что вытащили его из k-ой корзины (p(б) = 2/5 по формуле полной вероятности уже получена).

p(H₁ |б) = p(H₁) p(б| H₁) / p(б) = 1/3  3/5 / 2/5 = 3/6 = 1/2

p(H₂ |б) = p(H₂) p(б| H₂) / p(б) = 1/3  1/5 / 2/5 = 1/6

p(H₃ |б) = p(H₃) p(б| H₃) / p(б) = 1/3  2/5 / 2/5 = 1/3

Задача 2: В условиях задачи 2 на полную вероятность. Второй игрок вытащил белый шарик. Определить при этом вероятности того, что первый вытащил белый и черный.

p(H₁ |б) = p(H₁) p(б| H₁) / p(б) = 2/5  1/4 / 2/5 = 1/4

p(H₂ |б) = p(H₂) p(б| H₂) / p(б) = 3/5  2/4 / 2/5 = 3/4