5. Классический подход к определению вероятностей.

Классическое определение вероятности сформировалось в 17 в. в результате анализа азартных игр и основано на понятии равновозможности событий, т.е. когда нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим:

1) появление орла или решки при одном подбрасывании монеты

2) случайный выбор какой-либо карты из колоды.

Рассмотрим испытание, в результате которого может появиться событие А. Например, испытание – бросание кубика, событие А – выпадение четных очков.

Каждый исход, при котором осуществляется событие А, называется благоприятным событию А.

Событие А – выпадение четных очков. Из 6-ти равновозможных исходов (от 1 до 6 очков) три исхода (2,4,6) являются благоприятными событию А.

Поэтому

где m – число благоприятных исходов событию А

n – число всех возможных исходов.

m=3, n=6 p (чет.очков) = 3/6 = 0,5

6. Основные принципы и формулы комбинаторики.

Комбинаторика – раздел математики, который изучает методы подсчета числа различных комбинаций, почти всегда отвечает на вопрос: «Сколькими способами можно выполнить некоторое действие?».

Основные принципы.

1. Если действие состоит из двух операций, которые могут быть выполнены m и n способами соответственно, то общее число действий = m  n.

Шарики – 3 б + 2 ч. Сколькими способами можно выбрать пару б + ч? Действие можно разбить на две операции: выбор белого шарика (3 способа) и выбор черного (2 способа). Обще число способов выбора = 3  2 = 6 (этот же результат был получен в последней задаче).

На гору ведет 7 дорог. Сколько существует способов совершить прогулку на гору и обратно? Действие можно разбить на два: подъем на гору и спуск. Для любого выбранного способа подъема можно выбрать 7 способов спуска, всего 7  7 = 49 прогулок. А если потребовать не возвращаться по той же дороге, по которой поднялся? Для любого из 7 подъемов будет ровно 6 возможностей спуска, всего 7  6 = 42.

Карты (52). Число всех комбинаций карт вида («тройка»,«семерка»,«туз»)=444 (три операции: выбрать тройку, семерку и туза). Число всевозможных комбинаций из трех карт = 52  51  50 (три операции: выбрать первую, вторую, третью). Значит, вероятность вытащить комбинацию такого вида = 444 / 52  51  50.

Число четырехзначных чисел из цифр 0,1,2,3,4,5 = 5  6  6  6

Число нечетных ... = 5  6  6  3

... при условии, что цифры не повторяются = 5  5  4  3

2. Если действие выполняется любой одной из двух операций, которые могут быть выполнены m и n способами соответственно, то общее число действий = m + n.

Любая последовательность n различных объектов с учетом порядка называется перестановкой этих объектов.

Например, abc, acb, bac, bca, cab, cba – различные перестановки элементов abc.

Число всех возможных перестановок из n элементов:

P_n = n!

n! – арифметическая операция, читается n-факториал:

n! = 1  2  3 ....  n;

0! = 1.

Например, P₃ = 1  2  3 = 6, то есть можно было для его определения обойтись без перебора.

Действительно, как бы ни встали n–1 человек (одна операция), последний может разместиться среди них n способами (вторая операция), значит, из общего принципа комбинаторики: P_n = P_n–1  n . Применяя многократно эту идею, и получим методом математической индукции доказательство формулы.

Например, 5 человек можно расставить в строю 5! = 1  2  3  4  5 = 120 способами.

Любое подмножество из m элементов множества, содержащего n элементов, называется сочетанием из n элементов по m.

Например, ab, ac, bc – сочетания из множества abc.

Число всех различных сочетаний из n элементов по m

Например, число всех пар, которые можно выбрать из 5-ти шариков:

.

Из пяти карточек с номерами 1, 2, 3, 4, 5 выбираются две. Определить вероятность того, что они окажутся соседними.

Построив таблицу сочетаний, можно обнаружить закономерность:

n	M
	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8

Действительно, комбинации могут не содержать шарик n, а могут содержать, отсюда, по второму принципу комбинаторики, и два слагаемых.

Шарики – 3 б + 2 ч = 5. Определить вероятности того, что из двух выбранных оба белых, белый + черный, хотя бы один белый.

.

В общем виде, заменяя числа буквенными обозначениями, можно получить важную формулу, позволяющую решать многие комбинаторные задачи:

Шарики – N б + M ч = N + M. Определить вероятность того, что будет выбрана комбинация n белых + m черных.

Использование формулы возможно, если удается отобразить условие задачи в задачу с шариками, то есть сопоставить шарикам объекты задачи.

Например, есть 10 вопросов. Из них учащийся знает 7. Какова вероятность того, что оба из двух вопросов билета окажутся известными? Здесь два типа объектов – известные и неизвестные вопросы. N = 7, M = 3, n = 2, m = 0. Подставляя в формулу, получим ответ 21 / 45, то есть вероятность чуть менее половины.