Дифференциалы высших порядков

Пусть функция   зависит от переменной   и дифференцируема в точке  . Может оказаться, что в точке  дифференциал  , рассматриваемый как функция от  , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала   данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции  . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Определение

Дифференциалом  -го порядка   функции   называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

30) Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Приращение   функции   представимо в виде:

где функция   является б.м. функцией при стремлении аргумента   к нулю. Так как  , то

В силу того, что второе слагаемое   является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому

А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула: