Трансцендентные
Алгебраические
Иррациональные
Рациональные
Целые рациональные
Дробные рациональные
Алгебраическими называют функции, составленные из букв и цифр, соединенных знаками действий сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень и извлечение корня.
Другими словами: алгебраическими называют элементарные функции, которые могут быть получены из двух основных функций f(x)=x и f(x)=1 при помощи любого числа последовательно выполненных алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня) и умножения на числовые коэффициенты.
Например, функция
является
алгебраической.Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные.
Рациональные функции.
Рациональными называются алгебраические функции, которые не содержат аргумент под знаком радикала (корня).
Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) и дробные рациональные (отношение многочленов).
Пример целой рациональной функции:
.Пример дробно-рациональной функции:
.ПРИМЕЧАНИЕ:
Рациональные функции могут содержать и иррациональные коэффициенты (главное, чтобы под знаком радикала не было аргумента функции). Например,
-
целая рациональная функция, а не
иррациональная.Иррациональные функции.
Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).
Примером может являться функция
.К началу страни
Трансцендентные функции.
Трансцендентными называют элементарные функции, которые не являются алгебраическими. (То есть, они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций).
К примеру,
-
трансцендентная функция.
Преобразование графиков функций
Функция |
Преобразование
графика функции |
|
Параллельный перенос вдоль оси OY на A единиц вверх, если А>0, и на |A| единиц вниз, если А<0. |
|
Параллельный перенос вдоль оси OX на a единиц вправо, если a > 0, на |a| единиц влево, если a < 0. |
|
Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в k раз, если k > 1, и сжатие в 1/k раз, если 0 < k < 1. |
|
Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз, если k > 1, и растяжение в 1/k раз, если 0 < k < 1. |
|
Симметричное отражение относительно оси OX |
|
Часть графика, расположенная ниже оси OX, симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения. |
|
Симметричное отражение относительно оси OY. |
|
Часть графика, расположенная в области x 0, остается без изменения, а его часть для области x 0 заменяется симметричным отображением относительно оси OY части графика для x 0. |
7) Обычно степенными функциями называют функции вида у = хr, где r-любое действительное число.
Целый ряд таких функций мы с вами уже изучили. Так, если r— натуральное число (r = п), то получаем функцию у = хп; графики и свойства таких функций вам известны из курса алгебры 7—9-го классов. На рис. 180 изображен график функции у =х1 (прямая), на рис. 181 изображен график функции у =хг (парабола), на рис. 182 изображен график функции у =х3 (кубическая парабола). График
степенной
функции у = хп в случае четного п (п =4, 6,
8, ...) похож на параболу, а график степенной
функции у = х" в случае нечетного п(п=
5, 7, 9,...) похож на кубическую параболу.
Если
г = -п, то получаем функцию
о таких функциях мы говорили в курсе
алгебры 9-го класса. В случае четного п
график имеет вид, изображенный на рис.
183; в случае нечетного п график имеет
вид, изображенный на рис. 184.
Наконец,
если г=0, т.е. речь идет о функции у=х°, то
о ней и говорить неинтересно, поскольку
это — функция у = 1, где
; график этой
функции изображен на рис. 185.
8) Функция, заданная формулой y=ax(где a>0,a≠1), называется показательной функцией с основанием a.
Сформулируем основные свойства показательной функции:
1. Область определения - множество R действительных чисел.
2. Область значений - множество R+ всех положительных действительных чисел.
3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<a<1 функция убывает на множестве R.
ax1<ax2, если x1<x2,(a>1),
ax1>ax2, если x1<x2,(0<a<1)
4. При любых действительных значениях x и y справедливы равенства
axay=ax+yaxay=ax−y(ab)x=axbx(ab)x=axbx(ax)y=axy
Графики показательных функций изображены на рисунках:
1) для случая a>1
2) для случая 0<a<1
9) Функцию, заданную формулой y=logax, называют логарифмической функцией с основанием a.
(a>0,a≠1)
Основные свойства логарифмической функции:
1. Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел.
D(f)=(0;+∞);
2. Множество значений логарифмической функции - множество R всех действительных чисел.
E(f)=(−∞;+∞);
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a>1 или убывает
при 0<a<1.
10) Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.
Y = sin(x)
График функции y=sin(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.
Y = cos(x)
График функции y=cos(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция четная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.
Y = tg(x)
График функции y=tg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
Y = ctg(x)
График функции y=ctg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
11)
Обра́тные
тригонометри́ческие фу́нкции (круговые
функции, аркфункции) — математические
функции, являющиеся обратными к тригонометрическим
функциям.
Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x. См. разделы Синус, косинус, Тангенс, котангенс.
y = arcsin x
Свойства функции arcsin
(функция
является нечётной).
при 
.
при 
при 
y
= arccos x
Свойства функции arccos
(функция
центрально-симметрична относительно
точки 
),
является индифферентной.
при 
при 
y
= arctg x
Свойства функции arctg
,
при x > 0.
,
при x > 0.
y
= arcctg x
Свойства функции arcctg
(график
функции центрально-симметричен
относительно точки 
при
любых 
12) Последовательностью называется
функция, которая переводит
множество натуральных
чисел 
в
некоторое множество 
: 
Конечная или бесконечно удаленная точка числовой прямой называется пределом некоторой числовой последовательности действительных чисел, если какова бы ни была окрестность точки a, она содержит все члены рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера.
13)
Число 
называется пределом
функции 
на
бесконечности или
при 
,
если для любого 
существует
число 
такое,
что для всех 
из
того, что 
,
выполняется неравенство 
.
Число
называется пределом
функции 
в
точке 
,
если для любой последовательности
,
которая сходится к
,
соответствующая последовательность
значений функции 
сходится
к
.
14) Бесконечно малая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.