3)
На числовой оси окрестность точки – любой интервал (открытый промежуток), содержащий данную точку. В частности открытый (не содержащий границ) промежуток (а – δ; а + δ) с центром в точке а называется δ-окрестностью точки а (положительное число δ – радиус δ-окрестности).
4) Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной.
Основные свойства функций.
Область определения функции и область значений функции.
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
Нули функции.
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
Промежутки знакопостоянства функции.
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
Монотонность функции.
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Четность (нечетность) функции.
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Ограниченная и неограниченная функции.
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
Периодическость функции.
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.
5)
Линейная |
y = kx |
|
Прямая |
Cамый простой частный случай линейной зависимости - прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 - коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента. |
Линейная |
y = kx + b |
|
Прямая |
Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b - любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1.
|
Квадратичная |
y = x2 |
|
Парабола |
Простейший случай квадратичной зависимости - симметричная парабола с вершиной в начале координат.
|
Квадратичная |
y = ax2 + bx + c |
|
Парабола |
Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a - произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c - любые действительные числа.
|
Степенная |
y = x3 |
|
Кубическая парабола |
Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций".
|
Степенная |
y = x1/2 |
|
График функции y = √x |
Самый простой случай для дробной степени (x1/2 = √x). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций".
|
Степенная |
y = k/x |
|
Гипербола |
Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x-1) - обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k = 1. |
Показательная |
y = ex |
|
Экспонента |
Экспоненциальной зависимостью называют показательную функцию для основания e - иррационального числа примерно равного 2,7182818284590... |
Показательная |
y = ax |
|
График показательной функции |
Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 2x (a = 2 > 1).
|
Показательная |
y = ax |
|
График показательной функции |
Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5x (a = 1/2 < 1). |
Логарифмическая |
y = lnx |
|
График логарифмической функции |
График логарифмической функции для основания e (натурального логарифма) иногда называют логарифмикой. |
Логарифмическая |
y = logax |
|
График логарифмической функции |
Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1).
|
Логарифмическая |
y = logax |
|
График логарифмической функции |
Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log0,5x (a = 1/2 < 1). |
Синус |
y = sinx |
|
Синусоида |
Тригонометрическая функция синус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций".
|
Косинус |
y = cosx |
|
Косинусоида |
Тригонометрическая функция косинус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций".
|
Тангенс |
y = tgx |
|
Тангенсоида |
Тригонометрическая функция тангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций".
|
Котангенс |
y = сtgx |
|
Котангенсоида |
Тригонометрическая функция котангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций".
|
Обратные тригонометрические функции. |
||||
Название функции |
Формула функции |
График функции |
Название графика |
Комментарий |
Арксинус |
y = arcsinx |
|
График арксинуса |
Тригонометрическая функция обратная к y = sinx. Определена на отрезке [−1; 1]. Принимает значения от −π/2 до π/2. |
Арккосинус |
y = arccosx |
|
График арккосинуса |
Тригонометрическая функция обратная к y = cosx. Определена на отрезке [−1; 1]. Принимает значения от 0 до π. |
Арктангенс |
y = arctgx |
|
График арктангенса |
Тригонометрическая функция обратная к y = tgx. Определена на множестве действительных чисел. Принимает значения на интервале (−π/2; π/2). Имеет асимптоты. |
Арккотангенс. |
y = arcctgx |
|
График арксинуса |
Тригонометрическая функция обратная к y = ctgx. Определена на множестве действительных чисел. Принимает значения на интервале (0 π). Имеет асимптоты. |
6) Элементарные функции