3.4.2 Последовательность расчёта по методу контурных токов

Расчет цепей по методу контурных токов рекомендуется вести в следующей последовательности.

1. Упростить исходную цепь, заменив реальные источники тока на реальные источники напряжения.

2. Выбрать независимые контуры, направление контурных токов в них и направления токов в ветвях, входящих только в один контур должны совпадать с направлением контурного тока.

3. Записать и решить стандартную систему уравнений по методу контурных токов.

4. По найденным контурным токам найти по первому закону Кирхгофа токи в остальных ветвях схемы.

5. Выполнить проверку результатов расчёта.

Если в схеме идеальные источники тока и их не преобразовали в модели с источниками ЭДС, расчет имеет ряд особенностей. Чтобы выбрать независимые контуры, необходимо использовать дерево графа так, чтобы в идеальные источники тока входили в ветви соединения. В этом случае токи источников тока приравниваем к известным контурным токам, а уравления составляют и решают только для контуров с неизвестными контурными токами. При этом в уравнения включаются слагаемые, которые приравняли токам идеальных источников тока.

Пример 3.9.

Для электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 3.47. выполнить расчёт токов в ветвях электрической цепи, если параметры элементов имеют следующие значения: R₁=5 Ом; = =10 Ом; =5 Ом; =3 Ом; J₁=2 А; J₂=0,3 А; J₃=1,5 А; =80 В; = 8 В; =30 В; =10 В.

Решение

На первом этапе упростим схему рисунка 3.47, заменив модели источников энергии с источниками тока на модели с источниками ЭДС. Так заменяем: и на эквивалентные источники ЭДС

В; и на эквивалентный источник В; и на

В.

Рисунок 3.47 – Схема к примеру 3.9.

На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы c неизвестными контурными токами и произвольно выбираем положительные их направления (рисунок 3.48).

На третьем этапе составляем стандартную систему уравнений по МКТ для трёх неизвестных контурных токов , , :

(3.56)

Здесь: Ом; Ом; Ом;

Ом; Ом; Ом;

В; В;

В.

Рисунок 3.48 – Упрощенная схема к примеру 3.9

Подставляем полученные значения коэффициентов в уравнения системы (3.56) получаем:

(3.57)

Решаем полученную систему уравнений с помощью определителей:

(3.58)

Правила вычисления определителей при раскрытии по первому столбцу:

(3.59)

На четвёртом этапе вычисляем токи ветвей:

А; А; А;

Ток вычисляем для узла 1 по первому закону Кирхгофа:

А; (3.61)

Аналогично величины токов:

А.

На пятом этапе выполняем проверку вычислений подстановкой величин токов в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для исходной схемы рисунка 3.47:

для первого контура;

для второго контура; (3.63)

для третьего контура.

П одставляем заданные параметры элементов электрической цепи и величины токов в систему уравнений (3.63):

или 62=62;

или 38=38;

или 10=10.

Система уравнений (3.63) превратилась в верное равенство.

Пример 3.10.

Для электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 3.49 выполнить расчёт токов в ветвях электрической цепи, если параметры элементов имеют следующие значения: Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; В; В; А.

Решение

На первом этапе упростим электрическую схему, заменив источник тока на источник ЭДС:

Рисунок 3.49 – Схема к примеру 3.10

На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы и независимые контуры с неизвестными контурными токами и их положительными направлениями.

Так как независимых контуров три, схема будет содержать три неизвестных контурных тока , , .

На третьем этапе составляем стандартную систему из трёх уравнений:

(3.64)

Рисунок 3.50 – Упрощенная схема к примеру 3.10

Для данной схемы:

Решаем систему (3.65) с помощью определителей:

На четвёртом этапе вычисляем токи ветвей:

А; А; А; А; А; А.

Ток исходной схемы рисунка 3.49 вычисляем для узла n:

А.

На пятом этапе выполняем проверку расчётов по балансу мощности.

Уравнение энергетического баланса для схемы рисунка 3.50 имеет вид:

_(3.67)

Пример 3.11.

Для условия примера 3.9. выполнить расчёт методом контурных токов,

Рисунок 3.51 – Схема к примеру 3.11.

не заменяя источники тока на источники ЭДС, то есть без первого этапа упрощения электрической цепи.

Решение.

На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы и независимые контуры с неизвестными контурными токами и их положительные направления.

Кроме неизвестных контурных токов , , вводим три известных контурных тока: ; ; .

На рисунке 3.51 представлены все шесть контуров с контурными токами.

На третьем этапе составим стандартную систему уравнений по МКТ для трёх неизвестных контурных токов , и :

(3.68)

Здесь:

Переносим слагаемые с известными контурными токами в правую часть системы уравнений (3.68).

Получим:

(3.69)

Сравниваем полученную систему уравнений (3.69) с системой уравнений (3.57), приходим к выводу об их полном совпадении. Дальнейшие вычисления токов полностью повторяют решение предыдущего примера 3.9.