3.4 Метод контурных токов (мкт)

3.4.1 Обоснование последовательности расчета

На рисунке 3.45. представлена сложная электрическая цепь, в которой заданы величины всех ЭДС Е^’_i, Е_i, источников тока J_к и резисторов R_i, z_i. Необходимо выполнить расчет величин токов в ветвях электрической цепи.

На первом этапе необходимо проставить произвольное направление токов в ветвях и упростить электрическую цепь, по известным методам, пронумеровав узлы. На рисунке 3.46. представлена упрощенная цепь, где

Положительные направления результирующих ЭДС в ветвях выбираются произвольно и в данном примере выбраны совпадающими с электрической цепью на рисунке 3.39.

Рисунок 3.45 – Схема к обоснованию МКТ

Воспользуемся для обоснования метода МКТ методом непосредственного применения законов Кирхгофа и составим по первому закону Кирхгофа (к – 1) уравнений (т. е. 4 – 1 = 3) для узлов 1, 2, 3 и по второму закону Кирхгофа для контуров I, II, III:

Рисунок 3.46 – Упрощенная схема к обоснованию МКТ

(3.38)

(3.39)

Ветви 4, 5 и 6 – ветви дерева (рисунок 3.40.), а ветви 1, 2 и 3 – ветви соединения. Токи ветвей соединения называют контурными токами и обозначают , , . Выразим токи ветвей дерева через контурные токи из уравнений (3.38):

; (3.40)

; (3.41)

. (3.42)

Исключаем токи смежных ветвей (дерева) из системы уравнений (3.39), для чего выражения для токов (3.40) - (3.42) подставим в уравнения (3.39):

(3.43)

Выполним группировку коэффициентов при контурных токах уравнений системы (3.43) и получим стандартную форму системы уравнений по МКТ:

(3.44)

Анализ системы уравнений (3.44) позволяет прийти к следующим выводам:

- коэффициент при контурном токе, номер которого совпадает с номером контура, для которого составлено уравнение, равняется арифметической сумме сопротивлений этого контура, ее мы будем называть собственным сопротивлением контура R_ii:

для первого контура ,

для второго контура , (3.45)

для третьего контура );

- коэффициенты R_iк при контурных токах, номера которых не совпадают с номером контура, для которого составляется уравнение, являются сопротивлениями ветвей, которые принадлежат одновременно двум контурам; знак этих коэффициентов зависит от того, одинаково или противоположно направлены токи в этих ветвях, и мы будем называть их взаимными сопротивлениями контуров

, , . (3.46)

Левые части уравнений (3.44) являются алгебраическими суммами источников ЭДС по второму закону Кирхгофа и мы будем называть их контурными ЭДС ( , , ).

(3.47)

Группировка коэффициентов в правых частях уравнений (3.44) приведет к системе уравнений (3.48):

(3.48)

Система уравнений может быть решена с помощью определителей:

; (3.49)

; (3.50)

; (3.51)

где: ; ; ; ; , - алгебраические дополнения формул.

Система уравнений (3.48) является стандартной формой записи уравнений по методу контурных токов для любой электрической цепи с

тремя независимыми контурами. Учитывая, что , , , можно рассчитать остальные токи по формулам (3.40) – (3.42).

Можно сформулировать правило:

Ток в любой ветви равен алгебраической сумме контурных токов в этой ветви, при этом положительный знак выбирают при совпадении направления контурного тока с направлением тока ветви, и отрицательный – наоборот. Расчет остальных токов выполним по схеме (рисунок 3.45).

Для узла 5 по первому закону Кирхгофа . Аналогично для узла 1 ; для узла 9 ; для узла 8 .

Если количество независимых контуров m, система уравнений по методу контурных токов будет иметь вид:

(3.52)

В матричной форме систему (3.52) можно записать в полном виде:

; (3.53)

. (3.54)

где: - квадратичная матрица собственных и взаимных сопротивлений контуров или кратко – матрица сопротивлений; - матрица – столбец контурных ЭДС; i,k - соответственно номера рядка и столбца элементов матриц.

Матрица сопротивлений симметричная, так как . На главной диагонали этой матрицы расположены собственные сопротивлении контуров . Решение матричных уравнений (3.53) и (3.54) относительно неизвестной матрицы контурных токов имеет вид:

(3.55)

где - обратная матрица сопротивлений.