3.2.5 Эквивалентные преобразования резисторов, включенных в виде «треугольника» или трехлучевой «звезды»

Соединения трех резисторов в виде «звезды» и «треугольника» представлены на рисунке 3.18 а и б.

Каждая из схем с помощью зажимов 1, 2, 3 подключается к остальной части одной и той же электрической цепи. Так как схемы должны быть эквивалентными в любых режимах, то величины токов I₁, I₂, и I₃ рисунка а должны быть равными соответственно токам I₁', I₂', и I₃' рисунка б, и при обрыве одного из зажимов, что возможно при равенстве между собой входных сопротивлений эквивалентных схем со стороны двух зажимов при обрыве третьего. В результате можно получить систему уравнений для расчета величин резисторов:

Рисунок 3.18 – Схема соединения резисторов «звезда» (а) и схема соединения резисторов «треугольник» (б)

(3.12)

где: R_вх12э, R_вх23э, R_вх31э – входные (эквивалентные) сопротивления со стороны узлов соответственно 1 – 2, 2 – 3, 3 – 1, когда узлы 3, 1 или 2 отключены из цепи. Считая известными величины сопротивлений резисторов R₁, R₂, R₃, решаем систему уравнений относительно R₁₂, R₂₃, R₃₁ или относительно проводимостей g₁₂, g₂₃, g₃₁:

. (3.13)

Если известны величины сопротивлений схемы (рисунок 3.18. б) и необходимо рассчитать величины сопротивлений R₁, R₂, R₃ (рисунок 3.18. а), получим:

. (3.14)

Если ,то и наоборот, .

П ример 3.5.

Задана электрическая цепь:. Е = 80 В; R₁ = 1 Ом; R₂ = 3 Ом; R₃ = 6 Ом. Рассчитать величину тока I.

Решение.

П

Рисунок 3.19 – Схема к примеру 3.5.

реобразуем «звезду» резисторов с сопротивлениями R₁ в эквивалентный «треугольник». Схема приобретает вид, представленный на рисунке 3.20. Величина сопротивления резистора R' = 3R₁ = 3 Ом. Выполним замену параллельно соединенных R' и R₃ и R' и R₂ эквивалентными резисторами:

Рисунок 3.20 – Упрощенная схема

Рисунок 3.21 – Второй этап преобразования

.

Так как и соединены последовательно, то окончательный вид схемы представлен на рисунке 3.21, где: .

Эквивалентное сопротивление схемы

,

а величина тока:

.

3.2.6 Эквивалентные преобразования участков цепи с источниками энергии

В параграфе 2.3 уже рассмотрены активные идеальные элементы и схемы замещения реальных источников энергии и условия эквивалентного перехода от одной схемы к другой.

Для преобразования схем с идеальными источниками энергии используются приемы их эквивалентного переноса с изменением общего количества источников в схеме. Перенос идеальных источников не приводит к изменению исходных уравнений для контуров или узлов, составленных по законам Кирхгофа. Рассмотрим перенос идеального источника ЭДС (рисунок 3.22 а).

Уравнение по второму закону Кирхгофа для указанного контура имеет вид:

(3.15)

Д ля переноса источника ЭДС в ветви с резисторами R₁ и R₂ последовательно с ним включают такой же источник ЭДС, направленный в противоположную сторону, а для сохранения уравнения, последовательно с резисторами R₁ и R₂ включают такие же источники ЭДС, направленные вверх (рисунок 3.22 б). Последняя схема упрощается объединением узлов 1 и 2 в один узел, так как напряжение между этими узлами равно нулю (рисунок 3.22 в). Рассмотрим перенос идеального источника тока (рисунок 3.23).

Рисунок 3.23 – Преобразование цепи, содержащей источник тока

Перенос и преобразование цепи с идеальным источником тока J в цепь с идеальным источником ЭДC Е₁ и Е₂.

Д

Рисунок 3.22 – Эквивалентные преобразования участка цепи с источником ЭДС

ля переноса идеального источника тока J параллельно с резисторами R₁ и R₂ включаются источники тока J, таким образом, уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, остаются неизменными для рисунков 3.23 а и б. Так для узлов 1, 2 и 3 соответственно, уравнения имеют вид:

; (3.16)

; (3.17)

. (3.18)

Дальнейшее упрощение цепи выполнено заменой моделей источников энергии, содержащих источники тока (рисунок 3.23 б) моделями, содержащими источники ЭДС (рисунок 3.23 в), где: Е₁ = JR₁, Е₂ = JR₂.

Рассмотрим замену нескольких параллельных ветвей, содержащих источники ЭДС и источники тока, одной эквивалентной ветвью.

Участок цепи (рисунок 3.24 б) эквивалентен участку цепи, изображенному на рисунке 3.24 а, если токи I и I' равны и напряжения U_ab и U_ab' равны.

Для схемы (рисунок 3.24 а) ток I можно определить по первому закону Кирхгофа:

, (3.19)

где: n – число ветвей с источниками ЭДС; m – число ветвей с источниками тока; ток – ток любой ветви с источником ЭДС. Расчет токов I_i выполним по закону Ома:

. (3.20)

Следовательно:

. (3.21)

Для схемы (рисунок 3.24 б) в соответствии с законом Ома:

. (3.22)

Равенство токов I и I' в схемах (рисунок 3.23 а и б) должно иметь место при любых значениях , а это возможно только когда и

. (3.23)

Следовательно:

. (3.24)

П

Рисунок 3.24 – Параллельно соединенные ветви, содержащие источники энергии и их эквивалентная схема

ри вычислениях по данной формуле следует помнить: если ЭДС в какой-либо ветви схемы отсутствует, то соответствующее слагаемое в числителе выпадает, а проводимость этой ветви в знаменателе остается; если ЭДС в исходной схеме (рисунок 3.24 а) имеет направление, обратное току, то соответствующее слагаемое выйдет в числитель со знаком «–».