2.5 Основные задачи теории электрических цепей

Задачи теории электрических цепей делят на две группы. К первой группе относят задачи анализа. Целью задач анализа является расчет электрических процессов в заданных электрических цепях: при заданной конфигурации электрической цепи и заданными величинами всех элементов цепи необходимо рассчитать величины токов в ветвях и падений напряжений на элементах.

Вторая группа задач – задачи синтеза, когда необходимо отыскать конфигурацию электрической цепи и характеристики элементов, при которых электрический процесс в цепи будет подчиняться заданному режиму, заданным величинам токов и напряжений, т.е. целью синтеза является обратная задача. В данном пособии решается первая группа задач.

При этом, линейные электрические цепи постоянного тока являются наиболее простыми для вывода основных методов расчета и доказательства теорем. При расчете линейных цепей синусоидального тока применимы в дальнейшем все методы расчета, формулы и теоремы, полученные для линейных цепей постоянного тока.

2.6 Основные законы теории электрических цепей

Расчет электрических цепей осуществляют по законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа вытекает из принципа непрерывности электрического тока: поток вектора полной плотности электрического тока через замкнутую поверхность в любой среде равен нулю:

, (2.17)

г де

. (2.18)

Здесь – плотность тока проводимости; , где – вектор электрической индукции; – плотность тока переноса зарядов на заряженных телах.

О

Рисунок 2.29 – Поток вектора плотности электрического тока

хватим узел электрической цепи, замкнутой поверхностью S (рисунок 2.29). Если и , то через замкнутую поверхность S проходят только токи проводимости в проводниках, пересекающих эту поверхность.

Согласно закону сохранения электрического заряда и принципа непрерывности тока, в данном случае получим:

. (2.19)

Если число ветвей N присоединены к узлу цепи, имеем:

.

Полученное соотношение называется первым законом Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей, пересекающих замкнутую поверхность, равна нулю.

Е

Рисунок 2.30 – Замкнутый контур электрической цепи

сли внутри замкнутой поверхности находится один единственный узел, то формулировка имеет вид: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю. В левой части уравнения следует поставить знак «+» перед буквенными обозначениями токов, положительное направление которых принято от узла, и знак «–» перед буквенным обозначением токов, положительное направление которых принято к узлу. Для случая на рисунке 2.29 перед токами i₂ и i₃ в уравнении следует поставить «+», а перед током i₁ знак «–». Если правую и левую части уравнения умножить на минус единицу, то мы получим знаки перед токами, соответствующие обратному направлению единичного вектора . Если в результате расчета получено для некоторого тока в некоторый момент времени положительное число, то это указывает, что ток имеет направление согласно стрелке. Если i_k < 0, то этот ток направлен против стрелки.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС источников энергии, действующих в ветвях любого замкнутого контура электрической цепи, равна алгебраической сумме падений напряжения в этом же контуре:

, (2.21)

где – падение напряжения на пассивных элементах ветви к:

, (2.22)

– ЭДС k-ой ветви.

Здесь: – сопротивление резистора ветви; – индуктивность катушки ветви; – емкость конденсатора ветви.

Д

Рисунок 2.31 – Замкнутый контур, частично замыкающийся по

воздушной среде (стрелка U_ab)

ля составления уравнений согласно второму закону Кирхгофа предварительно задаются положительные направления токов и ЭДС источников энергии во всех ветвях. Положительные направления падений напряжения считаем совпадающими с положительными направлениями токов . На рисунке 2.30 представлен фрагмент электрической цепи в виде замкнутого контура. Направление обхода контура выбрали произвольно по часовой стрелке. Уравнение по второму закону Кирхгофа имеет вид:

. (2.23)

В электрических цепях с сосредоточенными параметрами второй закон Кирхгофа может быть записан и для контура, который проходит частично по элементам электрической цепи и частично проходит от одного узла к другому по окружающему элементы пространству, где мы принимаем отсутствующими магнитные сторонние поля: ЭДС_стор = 0 и е_инд = 0. Для примера по рисунку 2.31 мы можем составить уравнение:

. (2.24)