Пример 2.6.

Рассчитать емкость плоского конденсатора в общем виде (рисунок 2.12), пренебрегая искажением поля у краев пластин и считая поле между пластинами однородным.

Решение.

Для случая l >> d; b >> d можно считать при параллельном расположении пластин и идеальном диэлектрике, что в любой плоскости между пластинами и параллельной пластинам все точки одинаково расположены по отношению к заряженным пластинам и, следовательно, имеют равные потенциалы и характеристики E и D. Если воспользоваться теоремой Гаусса для параллелепипеда LFMPNQOK, учитывая, что поток вектора через грань LFMP равен нулю, из-за отсутствия поля вне объема конденсатора, поток вектора электрической индукции будет равен:

,

где – поверхностная плотность электрических зарядов пластины; S – площадь поверхности электрода.

Так как величина заряда пластины Q не зависит от размера LO, следовательно, учитывая D = const, приходим к выводу о равномерности поля для всех точек внутри конденсатора. Уменьшая размеры параллелепипеда до элементарного объема, можно получить равенство , или для любой точки на поверхности пластины.

По определению:

,

где Е – напряженность электрического поля, равная .

Пример 2.7.

Получить формулу для емкости одножильного кабеля (рисунок 2.13) в общем виде. Размеры указаны на чертеже. R₁ – радиус внутреннего электрода (жилы), а R₂ – внутренний радиус второго электрода (оболочки). Диэлектрическая проницаемость диэлектрика – . L – длина кабеля.

Решение.

Рассмотрим сечение кабеля на рисунке 2.14. Внутренняя жила кабеля 1 подключена к положительному зажиму источника питания, а оболочка 2 подключена к отрицательному зажиму источника питания. В результате происходит зарядка жилы зарядом + q и оболочки зарядом – q.

Р

Рисунок 2.13 –К примеру 2.7.

ассмотрим характер электростатического поля, созданного электродами. Выбираем произвольную точку а в диэлектрике и соединим центральную точку 0 с точкой а отрезком 0а. Так, как свободные электрические заряды жилы и оболочки противоположного знака, то под действием сил притяжения они перемещаются на поверхность. Так как система проводников носит коаксиальный характер (соосный), то заряды располагаются по поверхности проводников равномерно с плотностью и .

Выбираем на поверхности жилы на расстоянии х две одинаковые площадки и , симметрично расположенные относительно точки k. центры этих площадок – точки р и f. Заряды на площадках и , соответственно и , одинаковы: . Прямоугольные треугольники Δрка и Δfка равны друг другу, так как рк = кf = х, а сторона kа общая, следовательно, fa = pа = r.

Н

Рисунок 2.14 – Сечение кабеля

апряженность электрического поля в точке а, созданная зарядами q₁ и q₂:

,

где ,

так как .

Следовательно, , а вектор имеет только радиальную составляющую, совпадающую по направлению с отрезком 0а.

Если окружность с радиусом 0а разбить на симметричные пары участков, то все пары внесут в вектора напряженности электрического поля в точке а только радиальные составляющие.

Все точки окружности с радиусом 0а, как и все точки цилиндрической поверхности, имеют одинаковую напряженность электрического поля в связи с одинаковым расположением относительно заряженных поверхностей. Такое поле называют осесимметричным. Так как вектор электрической индукции , то воспользуемся теоремой Гаусса для определения вектора напряженности электрического поля по потоку вектора через цилиндрическую поверхность единицы длины кабеля:

,

где – площадь поверхности цилиндра с радиусом 0а; – площадь поверхности жилы; – заряд жилы на единицу длины, ; σ_ж – поверхностная плотность заряда.

Следовательно, , а .

Разность потенциалов между жилой и оболочкой (точки 1, 2 рисунок 2.14):

.

Следовательно:

.

Рисунок 2.15 – К примеру 2.8.